Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} e^{- 6 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 6 x}] + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 6 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 6 x$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 6 x}$ .

$x^{5} (- 6 \cdot e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5} e^{- 6 x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5} e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5} e^{- 6 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{5} e^{- 6 x}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (x^{5} e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.2.8

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{- 6 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4} e^{- 6 x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- 6 x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.8

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$f'' (x) = 36 (x^{5} (e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $5$ por $- 6$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 (e^{- 6 x} (x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $- 6$ por $5$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 e^{- 6 x} x^{4} - 30 (x^{4} (e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Etapa 2.4.3.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 e^{- 6 x} x^{4} - 30 x^{4} e^{- 6 x} + 20 (e^{- 6 x} (x^{3}))$

Etapa 2.4.3.5

Subtraia $30 x^{4} e^{- 6 x}$ de $- 30 e^{- 6 x} x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.5.1

Mova $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 x^{4} e^{- 6 x} - 30 x^{4} e^{- 6 x} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Etapa 2.4.3.5.2

Subtraia $30 x^{4} e^{- 6 x}$ de $- 30 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 60 x^{4} e^{- 6 x} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = 36 e^{- 6 x} x^{5} - 60 e^{- 6 x} x^{4} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $36 e^{- 6 x} x^{5} - 60 e^{- 6 x} x^{4} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 60 x^{4} e^{- 6 x} + 20 x^{3} e^{- 6 x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$f' (x) = x^{5} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{5} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.3.3.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{- 6 x}$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 \cdot e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = - 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os fatores em $- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x^{4} e^{- 6 x}$ de $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x^{4} e^{- 6 x}$ de $- 6 x^{5} e^{- 6 x}$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{4} e^{- 6 x}$ de $5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + x^{4} e^{- 6 x} (5) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{4} e^{- 6 x}$ de $x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + x^{4} e^{- 6 x} (5)$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x + 5) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

$e^{- 6 x} = 0$

$- 6 x + 5 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{4}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{4}$ como igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{4} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $e^{- 6 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $e^{- 6 x}$ como igual a $0$ .

$e^{- 6 x} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $e^{- 6 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 6 x}) = \ln (0)$

Etapa 5.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- 6 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.6

Defina $- 6 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $- 6 x + 5$ como igual a $0$ .

$- 6 x + 5 = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva $- 6 x + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 6 x = - 5$

Etapa 5.6.2.2

Divida cada termo em $- 6 x = - 5$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Divida cada termo em $- 6 x = - 5$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

Etapa 5.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

Etapa 5.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 6}$

Etapa 5.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{5}{6}$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{5}{6}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{5}{6}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(0)}^{5} e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$36 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$0 e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 e^{0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 60 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.7

Multiplique $- 60$ por $0$ .

$0 + 0 e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.8

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.10

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 20 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.12

Multiplique $20$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.13

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Etapa 9.1.14

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Etapa 9.1.15

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{5}{6}) \cup (\frac{5}{6}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} e^{- 6 \cdot - 2} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$f' (- 2) = - 6 \cdot (- 32 e^{- 6 \cdot - 2}) + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = 192 e^{- 6 \cdot - 2} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 5 \cdot (16 e^{- 6 \cdot - 2})$

Etapa 10.2.2.1.5

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 80 e^{- 6 \cdot - 2}$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 80 e^{12}$

Etapa 10.2.2.2

Some $192 e^{12}$ e $80 e^{12}$ .

$f' (- 2) = 272 e^{12}$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $272 e^{12}$ .

$272 e^{12}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0.42$ , do intervalo $(0, \frac{5}{6})$ na primeira derivada $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.42$ na expressão.

$f' (0.42) = - 6 {(0.42)}^{5} e^{- 6 \cdot 0.42} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $0.42$ à potência de $5$ .

$f' (0.42) = - 6 \cdot (0.01306912 e^{- 6 \cdot 0.42}) + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $0.01306912$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 e^{- 6 \cdot 0.42} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $0.42$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 e^{- 2.52} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 \frac{1}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.5

Combine $- 0.07841473$ e $\frac{1}{e^{2.52}}$ .

$f' (0.42) = \frac{- 0.07841473}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{{2.71828182}^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.52$ .

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{12.42859666} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.9

Divida $0.07841473$ por $12.42859666$ .

$f' (0.42) = - 1 \cdot 0.00630921 + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $0.00630921$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.11

Eleve $0.42$ à potência de $4$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 5 \cdot (0.03111696 e^{- 6 \cdot 0.42})$

Etapa 10.3.2.1.12

Multiplique $5$ por $0.03111696$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 e^{- 6 \cdot 0.42}$

Etapa 10.3.2.1.13

Multiplique $- 6$ por $0.42$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 e^{- 2.52}$

Etapa 10.3.2.1.14

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 (\frac{1}{e^{2.52}})$

Etapa 10.3.2.1.15

Combine $0.1555848$ e $\frac{1}{e^{2.52}}$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{e^{2.52}}$

Etapa 10.3.2.1.16

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{{2.71828182}^{2.52}}$

Etapa 10.3.2.1.17

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.52$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{12.42859666}$

Etapa 10.3.2.1.18

Divida $0.1555848$ por $12.42859666$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.01251829$

Etapa 10.3.2.2

Some $- 0.00630921$ e $0.01251829$ .

$f' (0.42) = 0.00620907$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $0.00620907$ .

$0.00620907$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{5}{6}, \infty)$ na primeira derivada $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - 6 {(3)}^{5} e^{- 6 \cdot 3} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f' (3) = - 6 \cdot (243 e^{- 6 \cdot 3}) + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $243$ .

$f' (3) = - 1458 e^{- 6 \cdot 3} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f' (3) = - 1458 e^{- 18} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 1458 \frac{1}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.5

Combine $- 1458$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f' (3) = \frac{- 1458}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 5 \cdot (81 e^{- 6 \cdot 3})$

Etapa 10.4.2.1.8

Multiplique $5$ por $81$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 e^{- 6 \cdot 3}$

Etapa 10.4.2.1.9

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 e^{- 18}$

Etapa 10.4.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 (\frac{1}{e^{18}})$

Etapa 10.4.2.1.11

Combine $405$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + \frac{405}{e^{18}}$

Etapa 10.4.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{- 1458 + 405}{e^{18}}$

Etapa 10.4.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.2.1

Some $- 1458$ e $405$ .

$f' (3) = \frac{- 1053}{e^{18}}$

Etapa 10.4.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (3) = - \frac{1053}{e^{18}}$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- \frac{1053}{e^{18}}$ .

$- \frac{1053}{e^{18}}$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{5}{6}$ , então $x = \frac{5}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{5}{6}$ é um máximo local

Etapa 11