Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 24)}^{2}$ como $(x - 24) (x - 24)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 24) (x - 24)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 24$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 24$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $24 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 48 x + 576$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.3

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.5

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.6

Como $576$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $576$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.7

Some $2 x - 48$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

Etapa 1.5.9

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.3

Mova $- 48$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.4.3

Some $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.5

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.6.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6.3

Some $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.7

Multiplique $4$ por $576$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 1.6.4.8

Some $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 1.6.4.9

Subtraia $192 x^{4}$ de $- 48 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 240 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 240 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 240$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $2304$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2304 x^{3}$ em relação a $x$ é $2304 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 (3 x^{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $2304$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 6912 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x - 24)}^{2}$ como $(x - 24) (x - 24)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x - 24) (x - 24)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $- 24$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 24$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

Etapa 4.1.3.2

Subtraia $24 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

Etapa 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 48 x + 576$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.3

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.6

Como $576$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $576$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.7

Some $2 x - 48$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

Etapa 4.1.5.9

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

Etapa 4.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.3

Mova $- 48$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.4.3

Some $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.5

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.6.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6.3

Some $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.7

Multiplique $4$ por $576$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.8

Some $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.9

Subtraia $192 x^{4}$ de $- 48 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $6 x^{3}$ de $- 240 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 2304 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $6 x^{3}$ de $2304 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x + 384) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 40 x + 384$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $384$ e cuja soma é $- 40$ .

$- 24, - 16$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 x^{3} ((x - 24) (x - 16)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 24 = 0$

$x - 16 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 24$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 24$ como igual a $0$ .

$x - 24 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $24$ aos dois lados da equação.

$x = 24$

Etapa 5.6

Defina $x - 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x - 16$ como igual a $0$ .

$x - 16 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x = 16$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 24, 16$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 24, 16$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$30 {(0)}^{4} - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$30 \cdot 0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 960 \cdot 0 + 6912 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 960$ por $0$ .

$0 + 0 + 6912 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 6912 \cdot 0$

Etapa 9.1.6

Multiplique $6912$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 16) \cup (16, 24) \cup (24, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $6$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 \cdot - 8$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $2304$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 - 18432$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Subtraia $3840$ de $- 192$ .

$f' (- 2) = - 4032 - 18432$

Etapa 10.2.2.2.2

Subtraia $18432$ de $- 4032$ .

$f' (- 2) = - 22464$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 22464$ .

$- 22464$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, 16)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 6 {(2)}^{5} - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f' (2) = 6 \cdot 32 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $6$ por $32$ .

$f' (2) = 192 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(2)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $16$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 {(2)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 \cdot 8$

Etapa 10.3.2.1.6

Multiplique $2304$ por $8$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 18432$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Subtraia $3840$ de $192$ .

$f' (2) = - 3648 + 18432$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $- 3648$ e $18432$ .

$f' (2) = 14784$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $14784$ .

$14784$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $20$ , do intervalo $(16, 24)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $20$ na expressão.

$f' (20) = 6 {(20)}^{5} - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $20$ à potência de $5$ .

$f' (20) = 6 \cdot 3200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $6$ por $3200000$ .

$f' (20) = 19200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $20$ à potência de $4$ .

$f' (20) = 19200000 - 240 \cdot 160000 + 2304 {(20)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $160000$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 {(20)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.5

Eleve $20$ à potência de $3$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 \cdot 8000$

Etapa 10.4.2.1.6

Multiplique $2304$ por $8000$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 18432000$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $38400000$ de $19200000$ .

$f' (20) = - 19200000 + 18432000$

Etapa 10.4.2.2.2

Some $- 19200000$ e $18432000$ .

$f' (20) = - 768000$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 768000$ .

$- 768000$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $26$ , do intervalo $(24, \infty)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $26$ na expressão.

$f' (26) = 6 {(26)}^{5} - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $26$ à potência de $5$ .

$f' (26) = 6 \cdot 11881376 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $6$ por $11881376$ .

$f' (26) = 71288256 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $26$ à potência de $4$ .

$f' (26) = 71288256 - 240 \cdot 456976 + 2304 {(26)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $- 240$ por $456976$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 {(26)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.5

Eleve $26$ à potência de $3$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 \cdot 17576$

Etapa 10.5.2.1.6

Multiplique $2304$ por $17576$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 40495104$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Subtraia $109674240$ de $71288256$ .

$f' (26) = - 38385984 + 40495104$

Etapa 10.5.2.2.2

Some $- 38385984$ e $40495104$ .

$f' (26) = 2109120$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $2109120$ .

$2109120$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 16$ , então $x = 16$ é um máximo local.

$x = 16$ é um máximo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 24$ , então $x = 24$ é um mínimo local.

$x = 24$ é um mínimo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$ .

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 16$ é um máximo local

$x = 24$ é um mínimo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 16$ é um máximo local

$x = 24$ é um mínimo local

Etapa 11