Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3} e^{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Etapa 2.4.2.2

Some $e^{x} (4 x^{3})$ e $4 x^{3} e^{x}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Mova $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Some $4 x^{3} e^{x}$ e $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x^{3} e^{x}$ de $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x^{3} e^{x}$ de $x^{4} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} (x) + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{3} e^{x}$ de $4 x^{3} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} (x) + x^{3} e^{x} (4) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{3} e^{x}$ de $x^{3} e^{x} (x) + x^{3} e^{x} (4)$ .

$x^{3} e^{x} (x + 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 5.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.5.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{3} e^{x} (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(0)}^{4} e^{0} + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{0} + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 8 \cdot 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 9.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{0}$

Etapa 9.1.9

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Etapa 9.1.10

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Etapa 9.1.11

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 6$ , do intervalo $(- \infty, - 4)$ na primeira derivada $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f' (- 6) = 1296 e^{- 6} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Etapa 10.2.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}}) + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Etapa 10.2.2.1.3

Combine $1296$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Etapa 10.2.2.1.4

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (- 216 e^{- 6})$

Etapa 10.2.2.1.5

Multiplique $4$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - 864 e^{- 6}$

Etapa 10.2.2.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - 864 \frac{1}{e^{6}}$

Etapa 10.2.2.1.7

Combine $- 864$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + \frac{- 864}{e^{6}}$

Etapa 10.2.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - \frac{864}{e^{6}}$

Etapa 10.2.2.2

Combine frações.

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Etapa 10.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 6) = \frac{1296 - 864}{e^{6}}$

Etapa 10.2.2.2.2

Subtraia $864$ de $1296$ .

$f' (- 6) = \frac{432}{e^{6}}$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $\frac{432}{e^{6}}$ .

$\frac{432}{e^{6}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- 4, 0)$ na primeira derivada $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 16 e^{- 2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Combine $16$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Etapa 10.3.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (- 8 e^{- 2})$

Etapa 10.3.2.1.5

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - 32 e^{- 2}$

Etapa 10.3.2.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - 32 \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 10.3.2.1.7

Combine $- 32$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + \frac{- 32}{e^{2}}$

Etapa 10.3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - \frac{32}{e^{2}}$

Etapa 10.3.2.2

Combine frações.

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Etapa 10.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{16 - 32}{e^{2}}$

Etapa 10.3.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.2.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16}{e^{2}}$

Etapa 10.3.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{16}{e^{2}}$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- \frac{16}{e^{2}}$ .

$- \frac{16}{e^{2}}$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = {(2)}^{4} e^{2} + 4 {(2)}^{3} e^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 4 {(2)}^{3} e^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 4 \cdot (8 e^{2})$

Etapa 10.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 32 e^{2}$

Etapa 10.4.2.2

Some $16 e^{2}$ e $32 e^{2}$ .

$f' (2) = 48 e^{2}$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $48 e^{2}$ .

$48 e^{2}$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 4$ , então $x = - 4$ é um máximo local.

$x = - 4$ é um máximo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} e^{x}$ .

$x = - 4$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = - 4$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11