Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 12)}^{2}$ como $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 12) (x - 12)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 24 x + 144$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.3

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.5

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.6

Como $144$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $144$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.7

Some $2 x - 24$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Etapa 1.5.9

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.3

Mova $- 24$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.4.3

Some $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.5

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.6.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.6.3

Some $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 1.6.4.7

Multiplique $4$ por $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.8

Some $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 1.6.4.9

Subtraia $96 x^{4}$ de $- 24 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 120 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 120$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $576$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $576 x^{3}$ em relação a $x$ é $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $576$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x - 12)}^{2}$ como $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x - 12) (x - 12)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Etapa 4.1.3.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Etapa 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 24 x + 144$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.3

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.6

Como $144$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $144$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.7

Some $2 x - 24$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Etapa 4.1.5.9

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Etapa 4.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.3

Mova $- 24$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.4.3

Some $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.5

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.6.1

Mova $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.6.3

Some $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.7

Multiplique $4$ por $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.8

Some $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 4.1.6.4.9

Subtraia $96 x^{4}$ de $- 24 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $6 x^{3}$ de $- 120 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $6 x^{3}$ de $576 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $6 x^{3}$ de $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 20 x + 96$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $96$ e cuja soma é $- 20$ .

$- 12, - 8$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 12$ como igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Etapa 5.6

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 12, 8$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 12, 8$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 480$ por $0$ .

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

Etapa 9.1.6

Multiplique $1728$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $6$ por $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $576$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Subtraia $1920$ de $- 192$ .

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

Etapa 10.2.2.2.2

Subtraia $4608$ de $- 2112$ .

$f' (- 2) = - 6720$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 6720$ .

$- 6720$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(0, 8)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $6$ por $1024$ .

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $256$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

Etapa 10.3.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

Etapa 10.3.2.1.6

Multiplique $576$ por $64$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Subtraia $30720$ de $6144$ .

$f' (4) = - 24576 + 36864$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $- 24576$ e $36864$ .

$f' (4) = 12288$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $12288$ .

$12288$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $10$ , do intervalo $(8, 12)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $5$ .

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $6$ por $100000$ .

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $10000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

Etapa 10.4.2.1.5

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

Etapa 10.4.2.1.6

Multiplique $576$ por $1000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $1200000$ de $600000$ .

$f' (10) = - 600000 + 576000$

Etapa 10.4.2.2.2

Some $- 600000$ e $576000$ .

$f' (10) = - 24000$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $- 24000$ .

$- 24000$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $14$ , do intervalo $(12, \infty)$ na primeira derivada $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $14$ na expressão.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $14$ à potência de $5$ .

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $6$ por $537824$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $14$ à potência de $4$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $38416$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

Etapa 10.5.2.1.5

Eleve $14$ à potência de $3$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

Etapa 10.5.2.1.6

Multiplique $576$ por $2744$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Subtraia $4609920$ de $3226944$ .

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

Etapa 10.5.2.2.2

Some $- 1382976$ e $1580544$ .

$f' (14) = 197568$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $197568$ .

$197568$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 8$ , então $x = 8$ é um máximo local.

$x = 8$ é um máximo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 12$ , então $x = 12$ é um mínimo local.

$x = 12$ é um mínimo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ .

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 8$ é um máximo local

$x = 12$ é um mínimo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 8$ é um máximo local

$x = 12$ é um mínimo local

Etapa 11