Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + \frac{4}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 2.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Etapa 2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 2.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 x^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 2.4.2

Combine $8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + \frac{4}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$4 x^{3} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3}) - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{2 + 3} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Some $2$ e $3$ .

$4 x^{5} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{x^{2}}$ para o numerador.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{5} - 4 = 0 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$4 x^{5} - 4 = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 x^{5} = 4$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $4 x^{5} = 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $4 x^{5} = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{4}{4}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x^{5} = 1$

Etapa 5.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{1}$

Etapa 5.4.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{4}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(1)}^{2} + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 + \frac{8}{1}$

Etapa 9.1.4

Divida $8$ por $1$ .

$12 + 8$

Etapa 9.2

Some $12$ e $8$ .

$20$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{4}{1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 + \frac{4}{1}$

Etapa 11.2.1.2

Divida $4$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 4$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $4$ .

$f (1) = 5$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$ .

$(1, 5)$ é um mínimo local

Etapa 13