Cálculo Exemplos

$f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$ .

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.1.2

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 1.4.2

Como $36 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 2 x + y$ e $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Etapa 1.5.3

Some $- 2 x + y$ e $0$ .

$- 2 x + y$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x + y = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.1.2

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Etapa 4.1.4.2

Como $36 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Etapa 4.1.5

Combine os termos.

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Etapa 4.1.5.1

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- 2 x + y$ e $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Etapa 4.1.5.3

Some $- 2 x + y$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x + y$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + y$ .

$- 2 x + y$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + y = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + y = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 2 x = - y$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 2 x = - y$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{- 2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{y}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{y}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2$

Etapa 9

$x = \frac{y}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{y}{2}$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = \frac{y}{2}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{y}{2}$ na expressão.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - {(\frac{y}{2})}^{2} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{2^{2}} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $(\frac{y}{2}) y$ .

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Etapa 10.2.1.3.1

Combine $\frac{y}{2}$ e $y$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.1.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.1.3.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.2

Para escrever $\frac{y^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.5

Some $- y^{2}$ e $y^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 10.2.5.1

Reordene $y^{2}$ e $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + 2 \cdot y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.5.2

Some $- y^{2}$ e $2 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Etapa 10.2.6

Para escrever $- y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 36 y$

Etapa 10.2.7

Combine $- y^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Etapa 10.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Etapa 10.2.9

Encontre o denominador comum.

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Etapa 10.2.9.1

Escreva $18$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Etapa 10.2.9.2

Multiplique $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Etapa 10.2.9.3

Multiplique $\frac{18}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Etapa 10.2.9.4

Escreva $36 y$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1}$

Etapa 10.2.9.5

Multiplique $\frac{36 y}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.2.9.6

Multiplique $\frac{36 y}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.2.10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.10.2.1

Multiplique $18$ por $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.10.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 36 y \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.10.2.3

Multiplique $4$ por $36$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 144 y}{4}$

Etapa 10.2.10.3

Subtraia $4 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Etapa 10.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.11.1

Fatore $3$ de $72 - 3 y^{2} + 144 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.11.1.1

Fatore $3$ de $72$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Etapa 10.2.11.1.2

Fatore $3$ de $- 3 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 144 y}{4}$

Etapa 10.2.11.1.3

Fatore $3$ de $144 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Etapa 10.2.11.1.4

Fatore $3$ de $3 (24) + 3 (- y^{2})$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Etapa 10.2.11.1.5

Fatore $3$ de $3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2} + 48 y)}{4}$

Etapa 10.2.11.2

Reordene os termos.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- y^{2} + 48 y + 24)}{4}$

Etapa 10.2.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 10.2.12.1

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) + 48 y + 24)}{4}$

Etapa 10.2.12.2

Fatore $- 1$ de $48 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) - (- 48 y) + 24)}{4}$

Etapa 10.2.12.3

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) + 24)}{4}$

Etapa 10.2.12.4

Reescreva $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) - 1 \cdot - 24)}{4}$

Etapa 10.2.12.5

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} - 48 y) - 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Etapa 10.2.12.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.12.6.1

Reescreva $- (y^{2} - 48 y - 24)$ como $- 1 (y^{2} - 48 y - 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- 1 (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Etapa 10.2.12.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{y}{2}) = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Etapa 10.2.13

A resposta final é $- \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$ .

$y = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ .

$(\frac{y}{2}, - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4})$ é um máximo local

Etapa 12