Cálculo Exemplos

$x^{3} - 3 x$

Etapa 1

Escreva $x^{3} - 3 x$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 3$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $3$ por $3$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, - 1$ .

$1, - 1$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 3$

Etapa 6.2.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$f' (- 2) = 9$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $9$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Etapa 7.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 1)$ .

Decréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 3$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 3$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (2) = 12 - 3$

Etapa 8.2.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$f' (2) = 9$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 8.3

Em $x = 2$ , a derivada é $9$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- 1, 1)$

Etapa 10