Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 13 x + 40$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 13 x + 40$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13 x$ em relação a $x$ é $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $13$ por $1$ .

$2 x + 13 + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 13 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $2 x + 13$ e $0$ .

$2 x + 13$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 13$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x + 13 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 13 x + 40$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [13 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13 x$ em relação a $x$ é $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $13$ por $1$ .

$2 x + 13 + \frac{d}{d x} [40]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 13 + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $2 x + 13$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 13$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 13$ .

$2 x + 13$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 13 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x + 13 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 13$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x = - 13$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 13$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 13}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 13}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 13}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{13}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{13}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{13}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2$

Etapa 9

$x = - \frac{13}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{13}{2}$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = - \frac{13}{2}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{13}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{13}{2}) = {(- \frac{13}{2})}^{2} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 10.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{13}{2}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{13}{2})}^{2} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{2}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{13^{2}}{2^{2}}) + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{13}{2}) = 1 (\frac{13^{2}}{2^{2}}) + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $\frac{13^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{13^{2}}{2^{2}} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.4

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{2^{2}} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.6

Multiplique $13 (- \frac{13}{2})$ .

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Etapa 10.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $13$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - 13 (\frac{13}{2}) + 40$

Etapa 10.2.1.6.2

Combine $- 13$ e $\frac{13}{2}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} + \frac{- 13 \cdot 13}{2} + 40$

Etapa 10.2.1.6.3

Multiplique $- 13$ por $13$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} + \frac{- 169}{2} + 40$

Etapa 10.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169}{2} + 40$

Etapa 10.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $\frac{169}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - (\frac{169}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 40$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $\frac{169}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 40$

Etapa 10.2.2.3

Escreva $40$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{40}{1}$

Etapa 10.2.2.4

Multiplique $\frac{40}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{40}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.2.2.5

Multiplique $\frac{40}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{40 \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{4} + \frac{40 \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169 - 169 \cdot 2 + 40 \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.4.1

Multiplique $- 169$ por $2$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169 - 338 + 40 \cdot 4}{4}$

Etapa 10.2.4.2

Multiplique $40$ por $4$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169 - 338 + 160}{4}$

Etapa 10.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.5.1

Subtraia $338$ de $169$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{- 169 + 160}{4}$

Etapa 10.2.5.2

Some $- 169$ e $160$ .

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Etapa 10.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{13}{2}) = - \frac{9}{4}$

Etapa 10.2.6

A resposta final é $- \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} + 13 x + 40$ .

$(- \frac{13}{2}, - \frac{9}{4})$ é um mínimo local

Etapa 12