Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} e^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.2.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{3 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.8

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 9 (x^{2} (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 (e^{3 x} (x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 e^{3 x} x + 6 (x (e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.3.4

Some $6 e^{3 x} x$ e $6 x e^{3 x}$ .

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Etapa 2.4.3.4.1

Mova $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.3.4.2

Some $6 x e^{3 x}$ e $6 x e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Etapa 2.4.5

Reordene os fatores em $9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Reordene os termos.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os fatores em $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x e^{3 x}$ de $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $e^{3 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $e^{3 x}$ como igual a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $e^{3 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Etapa 5.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.5.2.3

Não há uma solução para $e^{3 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.6

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 5.6.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 5.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 5.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 5.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 {(0)}^{2} e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 \cdot 0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 e^{0} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 0 e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.7

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.9

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{3 (0)}$

Etapa 9.1.10

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Etapa 9.1.11

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{3 (0)}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 e^{3 (0)}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Etapa 11.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Etapa 11.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{2}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$9 \frac{2^{2}}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$9 \frac{4}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.6.2

Reescreva a expressão.

$4 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.7.2

Cancele o fator comum.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.7.3

Reescreva a expressão.

$4 e^{- 2} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.9

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.10

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (\frac{- 2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.10.2

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 3 (4) \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.10.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{e^{2}} + 3 \cdot 4 \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.10.4

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{e^{2}} + 4 \cdot - 2 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.11

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.12

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.14

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 13.1.16

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.16.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 13.1.16.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 13.1.16.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 13.1.17

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 13.1.18

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 13.2

Combine frações.

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Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Etapa 13.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.2.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Etapa 13.2.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Etapa 13.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 14

$x = - \frac{2}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{2}{3}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 15.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 15.2.3.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 15.2.3.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{- 2}$

Etapa 15.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 15.2.5

Combine.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Etapa 15.2.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9 e^{2}}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $\frac{4}{9 e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{9 e^{2}}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$ é um máximo local

Etapa 17