Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.8

Combine frações.

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Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.8.3

Mova ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.8.4

Combine $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.12.2

Multiplique $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Etapa 1.14

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

Etapa 1.15

Combine $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ usando um denominador comum.

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Etapa 1.15.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.15.2

Para escrever $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.15.3

Combine $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.16

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.17

Multiplique ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.17.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.17.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.17.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.18

Simplifique $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19

Simplifique.

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Etapa 1.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.19.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.19.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.2.2

Some $x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.3

Fatore $x$ de $7 x^{2} - 12 x$ .

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Etapa 1.19.3.1

Fatore $x$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.3.2

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.19.3.3

Fatore $x$ de $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x (7 x - 12)$ e $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 7 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \frac{d}{d x} (7 x - 12) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.5

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + 0) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $7$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \cdot 7 + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.6.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 \cdot x + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + (7 x - 12) \cdot 1) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.5.8.1

Multiplique $7 x - 12$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + 7 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.5.8.2

Some $7 x$ e $7 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.11.3

Mova ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.11.4

Combine $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.14

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.15

Combine frações.

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Etapa 2.15.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.15.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.15.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.16.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x) + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.3

Mova $- 12$ para a esquerda de ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5

Multiplique $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x)$ .

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Etapa 2.16.1.5.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5.2

Combine $- 7$ e $\frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 (2 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5.4

Combine $\frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 (x \cdot x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

Etapa 2.16.1.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.5.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.16.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ para o numerador.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.6.2

Fatore $3$ de $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.6.3

Fatore $3$ de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot (3 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.6.4

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.6.5

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 4}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.7

Combine $\frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.10

Subtraia $\frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ de $14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x$ .

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Etapa 2.16.1.10.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.10.2

Para escrever $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.10.3

Combine $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.11

Para escrever $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.12

Combine $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.16.1.14.1

Fatore $2$ de $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

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Etapa 2.16.1.14.1.1

Fatore $2$ de $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.1.2

Fatore $2$ de $- 14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.1.3

Fatore $2$ de $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.1.4

Fatore $2$ de $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.1.5

Fatore $2$ de $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.2

Multiplique ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.16.1.14.2.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.2.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.2.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x (x - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.3

Simplifique $7 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

Etapa 2.16.1.14.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.16.1.14.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.6

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} - 14 x) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x^{2} \cdot 3 - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.8

Multiplique $3$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.9

Multiplique $3$ por $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.11

Multiplique ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.16.1.14.11.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.11.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.11.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.12

Simplifique $- 6 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.13

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 (x - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x - 18 \cdot - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.15

Multiplique $- 18$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.16

Subtraia $7 x^{2}$ de $21 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 42 x - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.17

Subtraia $18 x$ de $- 42 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.18

Fatore $2$ de $14 x^{2} - 60 x + 36$ .

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Etapa 2.16.1.14.18.1

Fatore $2$ de $14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.18.2

Fatore $2$ de $- 60 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.18.3

Fatore $2$ de $36$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.18.4

Fatore $2$ de $2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.18.5

Fatore $2$ de $2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.14.19

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.15

Para escrever $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.16

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.16.1.16.1

Multiplique $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.16.2

Reordene os fatores de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.16.1.18.1

Fatore $4$ de $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3$ .

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Etapa 2.16.1.18.1.1

Fatore $4$ de $8 x \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.18.1.2

Fatore $4$ de $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.18.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 6 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.1.18.3

Some $- 30 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.2

Combine os termos.

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Etapa 2.16.2.1

Reescreva $\frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.2.2

Multiplique $\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.16.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.16.2.4

Multiplique ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.16.2.4.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{4}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 2.16.2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 2.16.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Etapa 2.16.2.4.4

Some $4$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

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Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.8.3

Mova ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.8.4

Combine $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.12.2

Multiplique $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Etapa 4.1.14

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

Etapa 4.1.15

Combine $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ usando um denominador comum.

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Etapa 4.1.15.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.15.2

Para escrever $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.15.3

Combine $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.16

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.17

Multiplique ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.17.1

Mova ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.17.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.17.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.18

Simplifique $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.2.2

Some $x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.3

Fatore $x$ de $7 x^{2} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.19.3.1

Fatore $x$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.3.2

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.19.3.3

Fatore $x$ de $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (7 x - 12) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$7 x - 12 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.3

Defina $7 x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $7 x - 12$ como igual a $0$ .

$7 x - 12 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Resolva $7 x - 12 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$7 x = 12$

Etapa 5.3.3.2.2

Divida cada termo em $7 x = 12$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = 12$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Etapa 5.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{7}$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (7 x - 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{12}{7}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ como ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.3.3.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{12}{7}, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (7 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 (7 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{4 (0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$\frac{4 (0 + 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{4 (0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.5

Some $0$ e $18$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $4$ por $18$ .

$\frac{72}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.2.3

Fatore $9$ de $72$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $9$ de $9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 ({(- 2)}^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{{(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} \sqrt[3]{(0) - 2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{(0) - 2}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 2}$

Etapa 11.2.3

Reescreva $- 2$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 1 \cdot 2}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Etapa 11.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (0) = 0 (- 1 \sqrt[3]{2})$

Etapa 11.2.5

Reescreva $- 1 \sqrt[3]{2}$ como $- \sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0 (- \sqrt[3]{2})$

Etapa 11.2.6

Multiplique $0 (- \sqrt[3]{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{2}$

Etapa 11.2.6.2

Multiplique $0$ por $\sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{12}{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (7 {(\frac{12}{7})}^{2} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {((\frac{12}{7}) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (7 \frac{12^{2}}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{4 (7 (\frac{144}{49}) - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Fatore $7$ de $49$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 (7)} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 \cdot 7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.5

Multiplique $- 24 (\frac{12}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Combine $- 24$ e $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 24 \cdot 12}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.5.2

Multiplique $- 24$ por $12$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - \frac{288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 (\frac{144 - 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.8

Subtraia $288$ de $144$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.9

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18 \cdot \frac{7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.10

Combine $18$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + \frac{18 \cdot 7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \frac{- 144 + 18 \cdot 7}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.1

Multiplique $18$ por $7$ .

$\frac{4 \frac{- 144 + 126}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.12.2

Some $- 144$ e $126$ .

$\frac{4 (\frac{- 18}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.14

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.14.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (4 (\frac{18}{7}))}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.14.2

Combine $4$ e $\frac{18}{7}$ .

$\frac{- \frac{4 \cdot 18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.14.3

Multiplique $4$ por $18$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 14}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.4.2

Subtraia $14$ de $12$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{- 2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(- \frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.2.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 13.2.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Etapa 13.2.7

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Etapa 13.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Etapa 13.2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Etapa 13.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Etapa 13.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Etapa 13.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{- 9 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 13.3.2

Combine $- 9$ e $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{\frac{- 9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 13.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{72}{7}}{- \frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 13.4.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{72}{7}}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Etapa 13.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{72}{7} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.6

Combine.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7 (9 \cdot 2^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 13.7

Mova $7^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8

Multiplique $7^{\frac{5}{3}}$ por $7^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1

Mova $7^{- 1}$ .

$\frac{72 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.8.6.2

Some $- 3$ e $5$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.9

Fatore $9$ de $72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.10

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.10.1

Fatore $9$ de $9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 (2^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 13.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 14

$x = \frac{12}{7}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{12}{7}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{12}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{12}{7}$ na expressão.

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{2} \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{2}}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Etapa 15.2.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Etapa 15.2.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Etapa 15.2.4

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}}$

Etapa 15.2.5

Combine $- 2$ e $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}}$

Etapa 15.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 2 \cdot 7}{7}}$

Etapa 15.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 14}{7}}$

Etapa 15.2.7.2

Subtraia $14$ de $12$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 2}{7}}$

Etapa 15.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{- \frac{2}{7}}$

Etapa 15.2.9

Reescreva $- \frac{2}{7}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{2}{7})}$

Etapa 15.2.9.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{2}{7})}$

Etapa 15.2.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

Etapa 15.2.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

Etapa 15.2.12

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ como $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}})$

Etapa 15.2.13

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}))$

Etapa 15.2.14

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.14.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

Etapa 15.2.14.2

Eleve $\sqrt[3]{7}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

Etapa 15.2.14.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}})$

Etapa 15.2.14.4

Some $1$ e $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}})$

Etapa 15.2.14.5

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.14.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Etapa 15.2.14.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Etapa 15.2.14.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

Etapa 15.2.14.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.14.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

Etapa 15.2.14.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

Etapa 15.2.14.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

Etapa 15.2.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.15.1

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ como $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7})$

Etapa 15.2.15.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{49}}{7})$

Etapa 15.2.16

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.16.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 49}}{7})$

Etapa 15.2.16.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$

Etapa 15.2.17

Multiplique $\frac{144}{49} (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.17.1

Multiplique $\frac{144}{49}$ por $\frac{\sqrt[3]{98}}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{49 \cdot 7}$

Etapa 15.2.17.2

Multiplique $49$ por $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

Etapa 15.2.18

A resposta final é $- \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$ .

$y = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 17.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 17.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 17.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{5}}$

Etapa 17.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

Etapa 17.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

Etapa 17.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 18.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{(- 2) (7 (- 2) - 12)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1.1

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 (- 14 - 12)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.1.2

Subtraia $12$ de $- 14$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.2.1

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 26$ .

$f' (- 2) = \frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2.3

A resposta final é $\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{12}{7})$ na primeira derivada $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{(1) (7 (1) - 12)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1

Multiplique $7 (1) - 12$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(1 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3.2.2.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3.2.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 18.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 18.3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 18.3.2.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 \cdot 1}$

Etapa 18.3.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.3.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{7 - 12}{3 \cdot 1}$

Etapa 18.3.2.3.2

Subtraia $12$ de $7$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3 \cdot 1}$

Etapa 18.3.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3}$

Etapa 18.3.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (1) = - \frac{5}{3}$

Etapa 18.3.2.5

A resposta final é $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Etapa 18.4

Substitua qualquer número, como $1.86$ , do intervalo $(\frac{12}{7}, 2)$ na primeira derivada $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Substitua a variável $x$ por $1.86$ na expressão.

$f' (1.86) = \frac{(1.86) (7 (1.86) - 12)}{3 {((1.86) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1

Multiplique $1.86$ por $7 (1.86) - 12$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(1.86 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.4.2.2

Subtraia $2$ de $1.86$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.4.2.3

A resposta final é $\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{(4) (7 (4) - 12)}{3 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1.1

Multiplique $7$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (28 - 12)}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2.1.2

Subtraia $12$ de $28$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.2.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2.2.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$f' (4) = \frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2.3

A resposta final é $\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 18.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{12}{7}$ , então $x = \frac{12}{7}$ é um mínimo local.

$x = \frac{12}{7}$ é um mínimo local

Etapa 18.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 18.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{12}{7}$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = \frac{12}{7}$ é um mínimo local

Etapa 19