Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$2 x + 24 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 24 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$2 x + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 24 x + 36 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Some $2 x$ e $24 x$ .

$26 x + 36 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $26 x + 36$ e $0$ .

$26 x + 36$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $26 x + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [26 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (26 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [26 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $26$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $26 x$ em relação a $x$ é $26 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 26 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $26$ por $1$ .

$f'' (x) = 26 + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 26 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $26$ e $0$ .

$f'' (x) = 26$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$26 x + 36 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$2 x + 24 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 24 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$2 x + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 24 x + 36 + 0$

Etapa 4.1.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Some $2 x$ e $24 x$ .

$26 x + 36 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $26 x + 36$ e $0$ .

$f' (x) = 26 x + 36$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $26 x + 36$ .

$26 x + 36$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $26 x + 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$26 x + 36 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$26 x = - 36$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $26 x = - 36$ por $26$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $26 x = - 36$ por $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{- 36}{26}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{26 x}{26} = \frac{- 36}{26}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 36}{26}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 36$ e $26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$x = \frac{2 (- 18)}{26}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $26$ .

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 13}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 13}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 18}{13}$

Etapa 5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{18}{13}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{18}{13}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{18}{13}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$26$

Etapa 9

$x = - \frac{18}{13}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{18}{13}$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = - \frac{18}{13}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{18}{13}$ na expressão.

$f (- \frac{18}{13}) = {(- \frac{18}{13})}^{2} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{18}{13})}^{2} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = {(- 1)}^{2} (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = 1 (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $\frac{18^{2}}{13^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{18^{2}}{13^{2}} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.4

Eleve $18$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{13^{2}} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.5

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{18}{13})}^{2}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{18^{2}}{13^{2}})) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (1 (\frac{18^{2}}{13^{2}})) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.8

Multiplique $\frac{18^{2}}{13^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.9

Eleve $18$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{324}{13^{2}}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.10

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{324}{169}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.11

Multiplique $12 (\frac{324}{169})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.11.1

Combine $12$ e $\frac{324}{169}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{12 \cdot 324}{169} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.11.2

Multiplique $12$ por $324$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.12

Multiplique $36 (- \frac{18}{13})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} - 36 (\frac{18}{13}) + 3$

Etapa 10.2.1.12.2

Combine $- 36$ e $\frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + \frac{- 36 \cdot 18}{13} + 3$

Etapa 10.2.1.12.3

Multiplique $- 36$ por $18$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + \frac{- 648}{13} + 3$

Etapa 10.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} - \frac{648}{13} + 3$

Etapa 10.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{18}{13}) = 3 + \frac{324 + 3888}{169} + \frac{- 648}{13}$

Etapa 10.2.2.2

Some $324$ e $3888$ .

$f (- \frac{18}{13}) = 3 + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Etapa 10.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3}{1} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{169}{169}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3}{1} \cdot \frac{169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Etapa 10.2.3.3

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{169}{169}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Etapa 10.2.3.4

Multiplique $\frac{- 648}{13}$ por $\frac{13}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13} \cdot \frac{13}{13}$

Etapa 10.2.3.5

Multiplique $\frac{- 648}{13}$ por $\frac{13}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648 \cdot 13}{13 \cdot 13}$

Etapa 10.2.3.6

Multiplique $13$ por $13$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648 \cdot 13}{169}$

Etapa 10.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169 + 4212 - 648 \cdot 13}{169}$

Etapa 10.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.5.1

Multiplique $3$ por $169$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{507 + 4212 - 648 \cdot 13}{169}$

Etapa 10.2.5.2

Multiplique $- 648$ por $13$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{507 + 4212 - 8424}{169}$

Etapa 10.2.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.1

Some $507$ e $4212$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{4719 - 8424}{169}$

Etapa 10.2.6.2

Subtraia $8424$ de $4719$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{- 3705}{169}$

Etapa 10.2.6.3

Cancele o fator comum de $- 3705$ e $169$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.3.1

Fatore $13$ de $- 3705$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 (- 285)}{169}$

Etapa 10.2.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.3.2.1

Fatore $13$ de $169$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 \cdot - 285}{13 \cdot 13}$

Etapa 10.2.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 \cdot - 285}{13 \cdot 13}$

Etapa 10.2.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{- 285}{13}$

Etapa 10.2.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{18}{13}) = - \frac{285}{13}$

Etapa 10.2.7

A resposta final é $- \frac{285}{13}$ .

$y = - \frac{285}{13}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ .

$(- \frac{18}{13}, - \frac{285}{13})$ é um mínimo local

Etapa 12