Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 25 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 25 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25 x$ em relação a $x$ é $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 25 \cdot 1$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 25$ por $1$ .

$3 x^{2} - 25$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 25)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 25 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 25 x)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 25 x)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25 x$ em relação a $x$ é $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} x$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 25 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 25$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 25$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 25$ .

$3 x^{2} - 25$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 25 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 5.2

Some $25$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 25$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 25$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 25$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{25}{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{25}{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{3}$

Etapa 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{3}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.3

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$2 (5 \sqrt{3})$

Etapa 9.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 \sqrt{3}$

Etapa 10

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2.4

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.4.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.2.6

Multiplique $125$ por $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{375 \sqrt{3}}{27} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $375$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $3$ de $375 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (125 \sqrt{3})}{27} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} - 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 25 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Combine $- 25$ e $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 25 (5 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 11.2.1.5.2

Multiplique $5$ por $- 25$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 125 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} - \frac{125 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{125 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} - \frac{125 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{125 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} - \frac{125 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3}}{9} - \frac{125 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3} - 125 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 125$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{125 \sqrt{3} - 375 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $375 \sqrt{3}$ de $125 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 250 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{250 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $- \frac{250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{250 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$6 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13.1.4

Reescreva a expressão.

$2 (- 5 \sqrt{3})$

Etapa 13.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$- 10 \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3.4

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.4.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.3.6

Multiplique $125$ por $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{375 \sqrt{3}}{27} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $375$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Fatore $3$ de $375 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (125 \sqrt{3})}{27} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} - 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 25 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 25$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} + 25 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 15.2.1.6.2

Combine $25$ e $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{25 (5 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 15.2.1.6.3

Multiplique $5$ por $25$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $\frac{125 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{125 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{125 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 125 \sqrt{3} + 125 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $3$ por $125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 125 \sqrt{3} + 375 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.5.2

Some $- 125 \sqrt{3}$ e $375 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{250 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{250 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 25 x$ .

$(\frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{250 \sqrt{3}}{9})$ é um mínimo local

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{3}, \frac{250 \sqrt{3}}{9})$ é um máximo local

Etapa 17