Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[6, 16]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = x + \frac{96}{x}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{96}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[6, 16]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Etapa 7

Como $96$ é constante com relação a $x$ , mova $96$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $16$ e em $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Etapa 9.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $16$ e em $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

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Etapa 9.1.3.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.3

Cancele o fator comum de $256$ e $2$ .

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Etapa 9.1.3.3.1

Fatore $2$ de $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.3.2.4

Divida $128$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.5

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.6

Combine $- 36$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.7

Cancele o fator comum de $- 36$ e $2$ .

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Etapa 9.1.3.7.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.7.2.4

Divida $- 18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.1.3.8

Subtraia $18$ de $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $16$ é $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

Etapa 9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $6$ é $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $16$ e $6$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Etapa 10

Subtraia $6$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Etapa 11

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1

Simplifique $96 \ln (\frac{8}{3})$ movendo $96$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

Etapa 11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 12.2.1

Fatore $10$ de $110$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Etapa 12.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Etapa 13

Simplifique $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ movendo $\frac{1}{10}$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

Etapa 14

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.2

Multiplique os expoentes em ${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

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Etapa 14.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.2.1

Fatore $2$ de $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.2.2.2

Fatore $2$ de $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.2.2.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.2.2.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.2.3

Combine $48$ e $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Etapa 14.3

Multiplique os expoentes em ${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

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Etapa 14.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.3.2.1

Fatore $2$ de $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

Etapa 14.3.2.2

Fatore $2$ de $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Etapa 14.3.2.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Etapa 14.3.2.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

Etapa 14.3.3

Combine $48$ e $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

Etapa 15