Cálculo Exemplos

$y = x - \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x - \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x - \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$- \frac{1}{x} + 1$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 3.4.2

Some $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

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Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 5.1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x} + 1$ .

$- \frac{1}{x} + 1$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x} = - 1$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x} = - 1$ por $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Etapa 6.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Etapa 6.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - x$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

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Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $- x = - 1$ .

$- x = - 1$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1}$

Etapa 10.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 11

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = (1) - \ln (1)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Etapa 12.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (1) = 1$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = x - \ln (x)$ .

$(1, 1)$ é um mínimo local

Etapa 14