Cálculo Exemplos

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$

Etapa 1

Escreva $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ como uma função.

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $\cos (x + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2})$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.2.3

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π - π}{2}$

Etapa 7.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 7.4

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 8

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Etapa 9.2.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 9.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 10

A solução para a equação $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 13

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 14.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 14.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 16.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Etapa 16.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Etapa 16.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 16.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.6

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Etapa 16.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 17

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 18.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 18.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Etapa 18.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Etapa 18.2.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 18.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 18.2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Etapa 18.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = - 1$

Etapa 18.2.7

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ .

$(0, 1)$ é um máximo local

$(π, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 20