Cálculo Exemplos

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Etapa 1

Escreva $y = \cos (x) + \frac{x}{2}$ como uma função.

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + \frac{x}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Etapa 3.3

Subtraia $\cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

Etapa 5

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Divida cada termo em $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Etapa 6.3.2

Divida $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 10

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 10.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.2

Combine frações.

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Etapa 10.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 10.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 11

A solução para a equação $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 13

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 14

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{6}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 15.2.1.3.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 15.2.1.3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- - \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 17.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 17.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 18

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Etapa 19.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 19.2.1.4

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 19.2.1.4.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 19.2.1.4.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Etapa 19.2.2

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12})$ é um mínimo local

Etapa 21