Cálculo Exemplos

$y = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$

Etapa 1

Escreva $y = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ como uma função.

$f (x) = 8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$24 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$24 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 2.4.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \cdot - 1 + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 2.4.9

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 1 \cdot x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 2.4.10

Reescreva $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 2.4.11

Mova $3$ para a esquerda de $8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 (8 - x) x^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (3 \cdot 8 + 3 (- x)) x^{2}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1

Mova $x^{2}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x)$

Etapa 2.5.3.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x^{1})$

Etapa 2.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{2 + 1}$

Etapa 2.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{3}$

Etapa 2.5.3.4

Subtraia $3 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 2.5.3.5

Subtraia $4 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$24 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 2.5.3.6

Some $24 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 (2 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 96 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - x^{4} + x^{3} (8 - x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$24 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$24 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} (8 - x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.4.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1 \cdot 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 5.1.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} (0 - 1) + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 5.1.4.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} + x^{3} \cdot - 1 + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 5.1.4.9

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 1 \cdot x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 5.1.4.10

Reescreva $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (8 - x) (3 x^{2})$

Etapa 5.1.4.11

Mova $3$ para a esquerda de $8 - x$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 (8 - x) x^{2}$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + (3 \cdot 8 + 3 (- x)) x^{2}$

Etapa 5.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Etapa 5.1.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} + 3 (- x) x^{2}$

Etapa 5.1.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x \cdot x^{2}$

Etapa 5.1.5.3.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.3.1

Mova $x^{2}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x)$

Etapa 5.1.5.3.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 (x^{2} x^{1})$

Etapa 5.1.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{2 + 1}$

Etapa 5.1.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - x^{3} + 24 x^{2} - 3 x^{3}$

Etapa 5.1.5.3.4

Subtraia $3 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$24 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 5.1.5.3.5

Subtraia $4 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$24 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 5.1.5.3.6

Some $24 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$- 8 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 8 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $- 8 x^{2}$ de $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $- 8 x^{2}$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x^{2} x + 48 x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $- 8 x^{2}$ de $48 x^{2}$ .

$- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 6 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $- 8 x^{2}$ de $- 8 x^{2} (x) - 8 x^{2} (- 6)$ .

$- 8 x^{2} (x - 6) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 8 x^{2} (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 24 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 24 \cdot 0 + 96 (0)$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$0 + 96 (0)$

Etapa 10.1.3

Multiplique $96$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 10.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 8 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 8 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = 64 + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 64 + 48 \cdot 4$

Etapa 11.2.2.1.4

Multiplique $48$ por $4$ .

$f' (- 2) = 64 + 192$

Etapa 11.2.2.2

Some $64$ e $192$ .

$f' (- 2) = 256$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $256$ .

$256$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(0, 6)$ na primeira derivada $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - 8 {(3)}^{3} + 48 {(3)}^{2}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = - 8 \cdot 27 + 48 {(3)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $- 8$ por $27$ .

$f' (3) = - 216 + 48 {(3)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = - 216 + 48 \cdot 9$

Etapa 11.3.2.1.4

Multiplique $48$ por $9$ .

$f' (3) = - 216 + 432$

Etapa 11.3.2.2

Some $- 216$ e $432$ .

$f' (3) = 216$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $216$ .

$216$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(6, \infty)$ na primeira derivada $- 8 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = - 8 {(8)}^{3} + 48 {(8)}^{2}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f' (8) = - 8 \cdot 512 + 48 {(8)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $- 8$ por $512$ .

$f' (8) = - 4096 + 48 {(8)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f' (8) = - 4096 + 48 \cdot 64$

Etapa 11.4.2.1.4

Multiplique $48$ por $64$ .

$f' (8) = - 4096 + 3072$

Etapa 11.4.2.2

Some $- 4096$ e $3072$ .

$f' (8) = - 1024$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $- 1024$ .

$- 1024$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 6$ , então $x = 6$ é um máximo local.

$x = 6$ é um máximo local

Etapa 12