Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} - 4 x$

Etapa 1

Escreva $y = 2 x^{2} - 4 x$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$4 x - 4$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x - 4 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 4 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x - 4$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - 4$ .

$4 x - 4$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - 4 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - 4 = 0$

Etapa 6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 x = 4$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x = 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 4 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 4$

Etapa 11.2.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$f (1) = - 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{2} - 4 x$ .

$(1, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 13