Cálculo Exemplos

$y = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $y = 15 x^{4} + 20 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} + 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x^{3} + 60 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{3}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $60$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{2}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + 60 (2 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $60$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + 120 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} + 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $60 x^{2}$ de $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $60 x^{2}$ de $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $60 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $60 x^{2}$ de $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $60 x^{2} (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$180 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$180 \cdot 0 + 120 (0)$

Etapa 10.1.2

Multiplique $180$ por $0$ .

$0 + 120 (0)$

Etapa 10.1.3

Multiplique $120$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 10.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $60 x^{3} + 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 60 {(- 4)}^{3} + 60 {(- 4)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = 60 \cdot - 64 + 60 {(- 4)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 60 {(- 4)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 60 \cdot 16$

Etapa 11.2.2.1.4

Multiplique $60$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 960$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 3840$ e $960$ .

$f' (- 4) = - 2880$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $- 2880$ .

$- 2880$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $60 x^{3} + 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 60 {(- 0.5)}^{3} + 60 {(- 0.5)}^{2}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.2.1.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.5) = 60 \cdot - 0.125 + 60 {(- 0.5)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 0.125$ .

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 60 {(- 0.5)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.3

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 60 \cdot 0.25$

Etapa 11.3.2.1.4

Multiplique $60$ por $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 15$

Etapa 11.3.2.2

Some $- 7.5$ e $15$ .

$f' (- 0.5) = 7.5$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $7.5$ .

$7.5$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $60 x^{3} + 60 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 60 {(2)}^{3} + 60 {(2)}^{2}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 60 \cdot 8 + 60 {(2)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $60$ por $8$ .

$f' (2) = 480 + 60 {(2)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 480 + 60 \cdot 4$

Etapa 11.4.2.1.4

Multiplique $60$ por $4$ .

$f' (2) = 480 + 240$

Etapa 11.4.2.2

Some $480$ e $240$ .

$f' (2) = 720$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $720$ .

$720$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$ .

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 12