Cálculo Exemplos

$y = x^{4} e^{- x}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} e^{- x}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4} e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.2.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3} e^{- x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{4} (e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.3.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 (e^{- x} (x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.3.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Etapa 3.4.3.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 (e^{- x} (x^{2}))$

Etapa 3.4.3.6

Subtraia $4 x^{3} e^{- x}$ de $- 4 e^{- x} x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.6.1

Mova $e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Etapa 3.4.3.6.2

Subtraia $4 x^{3} e^{- x}$ de $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Etapa 3.4.5

Reordene os fatores em $e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 5.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x^{3} e^{- x}$ de $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $x^{3} e^{- x}$ de $- x^{4} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{3} e^{- x}$ de $4 x^{3} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x^{3} e^{- x}$ de $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ .

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 6.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.6

Defina $- x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $- x + 4$ como igual a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Etapa 6.6.2

Resolva $- x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 6.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 6.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(0)}^{4} e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.6

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.9

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Etapa 10.1.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{- (0)}$

Etapa 10.1.11

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Etapa 10.1.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Etapa 10.1.13

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Etapa 10.1.14

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 10.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 10.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (16 e^{- (- 2)}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Etapa 11.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Etapa 11.2.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 \cdot (- 8 e^{- (- 2)})$

Etapa 11.2.2.1.5

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{- (- 2)}$

Etapa 11.2.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{2}$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $32 e^{2}$ de $- 16 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 48 e^{2}$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $- 48 e^{2}$ .

$- 48 e^{2}$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, 4)$ na primeira derivada $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.5

Combine $- 16$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Etapa 11.3.2.1.8

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Etapa 11.3.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Etapa 11.3.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 11.3.2.1.11

Combine $32$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Etapa 11.3.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Etapa 11.3.2.2.2

Some $- 16$ e $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(4, \infty)$ na primeira derivada $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - {(6)}^{4} e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f' (6) = - 1 \cdot (1296 e^{- (6)}) + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1296$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- 6} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - 1296 \frac{1}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.5

Combine $- 1296$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{- 1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.7

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (216 e^{- (6)})$

Etapa 11.4.2.1.8

Multiplique $4$ por $216$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- (6)}$

Etapa 11.4.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- 6}$

Etapa 11.4.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 (\frac{1}{e^{6}})$

Etapa 11.4.2.1.11

Combine $864$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + \frac{864}{e^{6}}$

Etapa 11.4.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (6) = \frac{- 1296 + 864}{e^{6}}$

Etapa 11.4.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.2.2.1

Some $- 1296$ e $864$ .

$f' (6) = \frac{- 432}{e^{6}}$

Etapa 11.4.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (6) = - \frac{432}{e^{6}}$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $- \frac{432}{e^{6}}$ .

$- \frac{432}{e^{6}}$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 4$ , então $x = 4$ é um máximo local.

$x = 4$ é um máximo local

Etapa 11.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} e^{- x}$ .

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 4$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 4$ é um máximo local

Etapa 12