Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - x^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

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Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - (2 x)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 2 x = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x$ de $3 x^{2} - 2 x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 2 x = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 2 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$x (3 x - 2) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $3 x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 6.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (0) - 2$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 - 2$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Etapa 12.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 12.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{2}{3}) - 2$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 14.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{2}{3} - 2$

Etapa 14.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3} - 2$

Etapa 14.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2 - 2$

Etapa 14.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 - 2$

Etapa 14.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$2$

Etapa 15

$x = \frac{2}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2}{3}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{2}{3}$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2^{3}}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Etapa 16.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Etapa 16.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{3^{2}}$

Etapa 16.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9}$

Etapa 16.2.2

Para escrever $- \frac{4}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 16.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 16.2.3.1

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Etapa 16.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27}$

Etapa 16.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 4 \cdot 3}{27}$

Etapa 16.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 12}{27}$

Etapa 16.2.5.2

Subtraia $12$ de $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4}{27}$

Etapa 16.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{27}$

Etapa 16.2.7

A resposta final é $- \frac{4}{27}$ .

$y = - \frac{4}{27}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(\frac{2}{3}, - \frac{4}{27})$ é um mínimo local

Etapa 18