Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x - 12 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x - 12$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12 \cdot 1$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 4 x - 12$ .

$x^{2} - 4 x - 12$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x^{2} - 4 x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 6.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 6.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 6, - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (6) - 4$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 - 4$

Etapa 10.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$8$

Etapa 11

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} - 2 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 12.2.1.1

Escreva $- 2 {(6)}^{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2}}{1} - 12 \cdot 6$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $\frac{- 2 {(6)}^{2}}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12 \cdot 6$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $\frac{- 2 {(6)}^{2}}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} - 12 \cdot 6$

Etapa 12.2.1.4

Escreva $- 12 \cdot 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6}{1}$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $\frac{- 12 \cdot 6}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 12.2.1.6

Multiplique $\frac{- 12 \cdot 6}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (6) = \frac{{(6)}^{3} - 2 {(6)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.3.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 2 {(6)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = \frac{216 - 2 \cdot 36 \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.3.3

Multiplique $- 2 \cdot 36 \cdot 3$ .

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Etapa 12.2.3.3.1

Multiplique $- 2$ por $36$ .

$f (6) = \frac{216 - 72 \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.3.3.2

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.3.4

Multiplique $- 12 \cdot 6 \cdot 3$ .

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Etapa 12.2.3.4.1

Multiplique $- 12$ por $6$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 72 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.3.4.2

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 216}{3}$

Etapa 12.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Subtraia $216$ de $216$ .

$f (6) = \frac{0 - 216}{3}$

Etapa 12.2.4.2

Subtraia $216$ de $0$ .

$f (6) = \frac{- 216}{3}$

Etapa 12.2.4.3

Divida $- 216$ por $3$ .

$f (6) = - 72$

Etapa 12.2.5

A resposta final é $- 72$ .

$y = - 72$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (- 2) - 4$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 - 4$

Etapa 14.2

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$- 8$

Etapa 15

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 16.2.1.1

Escreva $- 2 {(- 2)}^{2}$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1} - 12 \cdot - 2$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $\frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12 \cdot - 2$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $\frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} - 12 \cdot - 2$

Etapa 16.2.1.4

Escreva $- 12 \cdot - 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2}{1}$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $\frac{- 12 \cdot - 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 16.2.1.6

Multiplique $\frac{- 12 \cdot - 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.2

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.2.3.2.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2) = \frac{- 8 + {(- 2)}^{1 + 2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + {(- 2)}^{3} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 8 \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.4

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.5

Multiplique $- 12 \cdot - 2 \cdot 3$ .

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Etapa 16.2.3.5.1

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 + 24 \cdot 3}{3}$

Etapa 16.2.3.5.2

Multiplique $24$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 + 72}{3}$

Etapa 16.2.4

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 16.2.4.1

Subtraia $24$ de $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 32 + 72}{3}$

Etapa 16.2.4.2

Some $- 32$ e $72$ .

$f (- 2) = \frac{40}{3}$

Etapa 16.2.5

A resposta final é $\frac{40}{3}$ .

$y = \frac{40}{3}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ .

$(6, - 72)$ é um mínimo local

$(- 2, \frac{40}{3})$ é um máximo local

Etapa 18