Cálculo Exemplos

$x + \sqrt{1 - x}$

Etapa 1

Escreva $x + \sqrt{1 - x}$ como uma função.

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt{1 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Etapa 2.2.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Etapa 2.2.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.2.15

Combine $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Etapa 2.2.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.2.17

Reescreva $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.2.18

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 3.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Etapa 3.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Etapa 3.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Etapa 3.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x))))$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.9

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.9.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Etapa 3.2.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))))$

Etapa 3.2.16

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1))$

Etapa 3.2.17

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1))$

Etapa 3.2.18

Combine $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2})$

Etapa 3.2.19

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.20

Reescreva $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.21

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.2.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Etapa 3.2.23

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (1 {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Etapa 3.2.24

Multiplique ${(1 - x)}^{- 1}$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Etapa 3.2.25

Combine ${(1 - x)}^{- 1}$ e $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- 1}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2.26

Mova ${(1 - x)}^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Etapa 3.2.27

Multiplique ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.27.1

Mova $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.2.27.2

Multiplique $1 - x$ por ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.2.27.2.1

Eleve $1 - x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.2.27.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2.27.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2.27.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 3.2.27.5

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.2.28

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 3.2.29

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.3

Subtraia $\frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt{1 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 5.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 5.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 5.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.1.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.2.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Etapa 5.1.2.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Etapa 5.1.2.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Etapa 5.1.2.15

Combine $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Etapa 5.1.2.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.2.17

Reescreva $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.2.18

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Simplifique ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.5.4.1.1.2

Simplifique.

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Simplifique ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Etapa 6.5.4.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 6.5.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$1 - x = \frac{1}{4}$

Etapa 6.5.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = \frac{1}{4} - 1$

Etapa 6.5.5.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 6.5.5.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 6.5.5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 6.5.5.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

Etapa 6.5.5.1.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

Etapa 6.5.5.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x = - \frac{3}{4}$

Etapa 6.5.5.2

Divida cada termo em $- x = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.1

Divida cada termo em $- x = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Etapa 6.5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Etapa 6.5.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Etapa 6.5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Etapa 6.5.5.2.3.2

Divida $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (1 - x) = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.6.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 x = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 - 4 x = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 4 x = - 4$

Etapa 7.3.3.2

Divida cada termo em $- 4 x = - 4$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 x = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 7.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 7.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 7.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 4$ .

$x = 1$

Etapa 7.4

Defina o radicando em $\sqrt{1 - x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - x < 0$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x < - 1$

Etapa 7.5.2

Divida cada termo em $- x < - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Divida cada termo em $- x < - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x > 1$

Etapa 7.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{3}{4}, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{1}{4 {(1 - (\frac{3}{4}))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4 - 3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.1.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 10.1.6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.6.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Etapa 10.1.6.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{3}}}$

Etapa 10.1.6.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 10.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 10.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 10.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 10.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 10.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Etapa 10.4

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Etapa 10.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Etapa 11

$x = \frac{3}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3}{4}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{3}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Etapa 12.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

Etapa 12.2.1.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 12.2.1.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 12.2.1.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 12.2.1.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 12.2.1.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 12.2.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 12.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 + 2}{4}$

Etapa 12.2.5

Some $3$ e $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{1}{4 {(1 - (1))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Etapa 14.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{1}{0}$

Etapa 14.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 16