Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{8^{2 x} - 1}{8^{x} - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 8^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{8^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{8^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{8^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8^{x} - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{8^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{8^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{8^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{8^{2 x} - 1}{8^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8^{2 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 8^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{2 x} \ln (8) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{2 x} \ln (8) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{2 x} \ln (8) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{2 x} \ln (8) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.5

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{2 x} \ln (8) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{3 (2 x)} \ln (8) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{6 x} \ln (8) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8) + 0}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.5

Some $2^{1 + 6 x} \ln (8)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8)}{\frac{d}{d x} [8^{x} - 1]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8)}{\frac{d}{d x} [8^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8)}{8^{x} \ln (8) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8)}{8^{x} \ln (8) + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $8^{x} \ln (8)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8)}{8^{x} \ln (8)}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $\ln (8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x} \ln (8)}{8^{x} \ln (8)}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 6 x}}{8^{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{1 + 6 x}}{lim_{x \to 0} 8^{x}}$

Etapa 2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + 6 x}}{lim_{x \to 0} 8^{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 6 x}}{lim_{x \to 0} 8^{x}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2^{1 + lim_{x \to 0} 6 x}}{lim_{x \to 0} 8^{x}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2^{1 + 6 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 8^{x}}$

Etapa 2.6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2^{1 + 6 lim_{x \to 0} x}}{8^{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2^{1 + 6 \cdot 0}}{8^{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2^{1 + 6 \cdot 0}}{8^{0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{2^{1 + 0}}{8^{0}}$

Etapa 4.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2^{1}}{8^{0}}$

Etapa 4.1.3

Avalie o expoente.

$\frac{2}{8^{0}}$

Etapa 4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 4.3

Divida $2$ por $1$ .

$2$