Cálculo Exemplos

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Etapa 1

Escreva $y = e^{2 x} - e^{x}$ como uma função.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{2 x} - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.2.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Etapa 6.2.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $u$ de $2 u^{2} - u$ .

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Etapa 6.2.3.1

Fatore $u$ de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Etapa 6.2.3.2

Fatore $u$ de $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.2.3.3

Fatore $u$ de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Etapa 6.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 6.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.5

Defina $2 e^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $2 e^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $2 e^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 e^{x} = 1$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $2 e^{x} = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 e^{x} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2.1.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6.5.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Simplifique $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.1.6.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 10.1.7

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$1 - \frac{1}{2}$

Etapa 10.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{2}$

Etapa 10.2.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\ln (\frac{1}{2})$ na expressão.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Simplifique $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 12.2.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 12.2.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 12.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 12.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Etapa 12.2.1.6

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Etapa 12.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 12.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Etapa 12.2.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 12.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Etapa 12.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ é um mínimo local

Etapa 14