Cálculo Exemplos

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (x - 4) e^{x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x - 4) e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- ((x - 4) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.7

Some $1$ e $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.2.8

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Etapa 1.4.3.2

Subtraia $e^{x}$ de $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Etapa 1.4.3.3

Some $- x e^{x} + 3 e^{x}$ e $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Etapa 1.4.5

Reordene os fatores em $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x e^{x} + 3 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$P'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Etapa 2.2.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$P'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 2.4.2

Some $- e^{x}$ e $3 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$P'' (x) = - e^{x} x + 2 e^{x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (x - 4) e^{x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x - 4) e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = - ((x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.7

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 4.1.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Etapa 4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Etapa 4.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.1.4.3.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Etapa 4.1.4.3.2

Subtraia $e^{x}$ de $4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Etapa 4.1.4.3.3

Some $- x e^{x} + 3 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 4.1.4.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - e^{x} x + 3 e^{x}$

Etapa 4.1.4.5

Reordene os fatores em $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $P (x)$ com relação a $x$ é $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $e^{x}$ de $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $e^{x}$ de $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $e^{x}$ de $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $- x + 3$ como igual a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (- x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Etapa 9

Some $- 3 e^{3}$ e $2 e^{3}$ .

$- e^{3}$

Etapa 10

$x = 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$P (3) = - ((3) - 4) \cdot e^{3} - 4$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Subtraia $4$ de $3$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $e^{3}$ por $1$ .

$P (3) = e^{3} - 4$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $e^{3} - 4$ .

$y = e^{3} - 4$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$ .

$(3, e^{3} - 4)$ é um máximo local

Etapa 13