Cálculo Exemplos

$r (x) = 1911 x - 0.13 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1911 x - 0.13 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [1911 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $1911$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1911 x$ em relação a $x$ é $1911 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1911 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1911 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $1911$ por $1$ .

$1911 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 0.13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.13 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1911 - 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1911 - 0.13 (3 x^{2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 0.13$ .

$1911 - 0.39 x^{2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 0.39 x^{2} + 1911$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 0.39 x^{2} + 1911$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 0.39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1911]$ .

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.39 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1911)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 0.39 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 0.39$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.39 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 0.39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$r'' (x) = - 0.39 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1911)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$r'' (x) = - 0.39 (2 x) + \frac{d}{d x} (1911)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 0.39$ .

$r'' (x) = - 0.78 x + \frac{d}{d x} (1911)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1911$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1911$ em relação a $x$ é $0$ .

$r'' (x) = - 0.78 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 0.78 x$ e $0$ .

$r'' (x) = - 0.78 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1911 x - 0.13 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [1911 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $1911$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1911 x$ em relação a $x$ é $1911 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1911 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1911 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $1911$ por $1$ .

$1911 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 0.13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.13 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1911 - 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1911 - 0.13 (3 x^{2})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 0.13$ .

$1911 - 0.39 x^{2}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 0.39 x^{2} + 1911$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $r (x)$ com relação a $x$ é $- 0.39 x^{2} + 1911$ .

$- 0.39 x^{2} + 1911$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1911$ dos dois lados da equação.

$- 0.39 x^{2} = - 1911$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 0.39 x^{2} = - 1911$ por $- 0.39$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 0.39 x^{2} = - 1911$ por $- 0.39$ .

$\frac{- 0.39 x^{2}}{- 0.39} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.39$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.39 x^{2}}{- 0.39} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $- 1911$ por $- 0.39$ .

$x^{2} = 4900$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4900}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{4900}$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva $4900$ como $70^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{70^{2}}$

Etapa 5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 70$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 70$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 70$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 70, - 70$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 70, - 70$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 70$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 0.78 \cdot 70$

Etapa 9

Multiplique $- 0.78$ por $70$ .

$- 54.6$

Etapa 10

$x = 70$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 70$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 70$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $70$ na expressão.

$r (70) = 1911 (70) - 0.13 {(70)}^{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $1911$ por $70$ .

$r (70) = 133770 - 0.13 {(70)}^{3}$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $70$ à potência de $3$ .

$r (70) = 133770 - 0.13 \cdot 343000$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 0.13$ por $343000$ .

$r (70) = 133770 - 44590$

Etapa 11.2.2

Subtraia $44590$ de $133770$ .

$r (70) = 89180$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $89180$ .

$y = 89180$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 70$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 0.78 \cdot - 70$

Etapa 13

Multiplique $- 0.78$ por $- 70$ .

$54.6$

Etapa 14

$x = - 70$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 70$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 70$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 70$ na expressão.

$r (- 70) = 1911 (- 70) - 0.13 {(- 70)}^{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Multiplique $1911$ por $- 70$ .

$r (- 70) = - 133770 - 0.13 {(- 70)}^{3}$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 70$ à potência de $3$ .

$r (- 70) = - 133770 - 0.13 \cdot - 343000$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 0.13$ por $- 343000$ .

$r (- 70) = - 133770 + 44590$

Etapa 15.2.2

Some $- 133770$ e $44590$ .

$r (- 70) = - 89180$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 89180$ .

$y = - 89180$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $r (x) = 1911 x - 0.13 x^{3}$ .

$(70, 89180)$ é um máximo local

$(- 70, - 89180)$ é um mínimo local

Etapa 17