Cálculo Exemplos

$r (t) = \frac{34 t}{t^{2} + 289}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $34$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{34 t}{t^{2} + 289}$ em relação a $t$ é $34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$ .

$34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = t^{2} + 289$ .

$34 \frac{(t^{2} + 289) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$34 \frac{(t^{2} + 289) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $t^{2} + 289$ por $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 289$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289]$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $289$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $289$ em relação a $t$ é $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Some $2 t$ e $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$34 \frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $34$ e $\frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$ .

$\frac{34 (- t^{2} + 289)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{34 (- t^{2}) + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $34$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $34$ por $289$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} \frac{d}{d t} (- 34 t^{2} + 9826) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{({(t^{2} + 289)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(t^{2} + 289)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} \frac{d}{d t} (- 34 t^{2} + 9826) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} \frac{d}{d t} (- 34 t^{2} + 9826) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 34 t^{2} + 9826$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 34 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9826]$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (\frac{d}{d t} (- 34 t^{2}) + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 34$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 34 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 34 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 34 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 34 (2 t) + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 34$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Como $9826$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9826$ em relação a $t$ é $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t + 0) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Some $- 68 t$ e $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} + 289$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} + 289$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) (2 u \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} + 289$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) (2 (t^{2} + 289) \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 289$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289]$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (\frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (289)))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (2 t + \frac{d}{d t} (289)))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4.4

Como $289$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $289$ em relação a $t$ é $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (2 t + 0))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1

Some $2 t$ e $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (2 t))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $t^{2} + 289$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) (2 \cdot ((t^{2} + 289) t))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 4 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) ((t^{2} + 289) t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$r'' (t) = \frac{- 68 {(t^{2} + 289)}^{2} t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.2

Reescreva ${(t^{2} + 289)}^{2}$ como $(t^{2} + 289) (t^{2} + 289)$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 ((t^{2} + 289) (t^{2} + 289)) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3

Expanda $(t^{2} + 289) (t^{2} + 289)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2} (t^{2} + 289) + 289 (t^{2} + 289)) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 289 + 289 (t^{2} + 289)) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 289 + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot 289 + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + t^{2} \cdot 289 + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.2

Mova $289$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + 289 \cdot t^{2} + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $289$ por $289$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + 289 t^{2} + 289 t^{2} + 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.2

Some $289 t^{2}$ e $289 t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + 578 t^{2} + 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{(- 68 t^{4} - 68 (578 t^{2}) - 68 \cdot 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1.6.1

Multiplique $578$ por $- 68$ .

$r'' (t) = \frac{(- 68 t^{4} - 39304 t^{2} - 68 \cdot 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 68$ por $83521$ .

$r'' (t) = \frac{(- 68 t^{4} - 39304 t^{2} - 5679428) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{4} t - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1

Multiplique $t^{4}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.1

Mova $t$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t \cdot t^{4}) - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $t$ por $t^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t \cdot t^{4}) - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{1 + 4} - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.1

Mova $t$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 (t \cdot t^{2}) - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 (t \cdot t^{2}) - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{1 + 2} - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 34$ por $- 4$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $9826$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{2 + 1} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{3} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11

Expanda $(136 t^{2} - 39304) (t^{3} + 289 t)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{2} (t^{3} + 289 t) - 39304 (t^{3} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{2} t^{3} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 (t^{3} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{2} t^{3} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $t^{3}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 (t^{3} t^{2}) + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{3 + 2} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 t^{2} t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $t$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 (t \cdot t^{2})) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 (t \cdot t^{2})) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 t^{1 + 2}) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 t^{3}) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $136$ por $289$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 39304 t^{3} - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $289$ por $- 39304$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 39304 t^{3} - 39304 t^{3} - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.2

Subtraia $39304 t^{3}$ de $39304 t^{3}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 0 - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.3

Some $136 t^{5}$ e $0$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.2

Some $- 68 t^{5}$ e $136 t^{5}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $11358856 t$ de $- 5679428 t$ .

$r'' (t) = \frac{68 t^{5} - 39304 t^{3} - 17038284 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Fatore $68 t$ de $68 t^{5} - 39304 t^{3} - 17038284 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Fatore $68 t$ de $68 t^{5}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4}) - 39304 t^{3} - 17038284 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.2

Fatore $68 t$ de $- 39304 t^{3}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4}) + 68 t (- 578 t^{2}) - 17038284 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.3

Fatore $68 t$ de $- 17038284 t$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4}) + 68 t (- 578 t^{2}) + 68 t (- 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.4

Fatore $68 t$ de $68 t (t^{4}) + 68 t (- 578 t^{2})$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4} - 578 t^{2}) + 68 t (- 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.5

Fatore $68 t$ de $68 t (t^{4} - 578 t^{2}) + 68 t (- 250563)$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4} - 578 t^{2} - 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t ({(t^{2})}^{2} - 578 t^{2} - 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.3

Deixe $u = t^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (u^{2} - 578 u - 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 578 u - 250563$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 250563$ e cuja soma é $- 578$ .

$- 867, 289$

Etapa 2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$r'' (t) = \frac{68 t ((u - 867) (u + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{2} - 867) (t^{2} + 289)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Cancele o fator comum de $t^{2} + 289$ e ${(t^{2} + 289)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Fatore $t^{2} + 289$ de $68 t (t^{2} - 867) (t^{2} + 289)$ .

$r'' (t) = \frac{(t^{2} + 289) (68 t (t^{2} - 867))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Fatore $t^{2} + 289$ de ${(t^{2} + 289)}^{4}$ .

$r'' (t) = \frac{(t^{2} + 289) (68 t (t^{2} - 867))}{(t^{2} + 289) {(t^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$r'' (t) = \frac{(t^{2} + 289) (68 t (t^{2} - 867))}{(t^{2} + 289) {(t^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{2} - 867)}{{(t^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $34$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{34 t}{t^{2} + 289}$ em relação a $t$ é $34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$ .

$34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$

Etapa 4.1.2

$34 \frac{(t^{2} + 289) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$34 \frac{(t^{2} + 289) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $t^{2} + 289$ por $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 289$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289]$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5

Como $289$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $289$ em relação a $t$ é $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Some $2 t$ e $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.7

Some $1$ e $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.8

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$34 \frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.9

Combine $34$ e $\frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$ .

$\frac{34 (- t^{2} + 289)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{34 (- t^{2}) + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $34$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2.2

Multiplique $34$ por $289$ .

$f' (t) = \frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $r (t)$ com relação a $t$ é $\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 34 t^{2} + 9826 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $9826$ dos dois lados da equação.

$- 34 t^{2} = - 9826$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- 34 t^{2} = - 9826$ por $- 34$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 34 t^{2} = - 9826$ por $- 34$ .

$\frac{- 34 t^{2}}{- 34} = \frac{- 9826}{- 34}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 34$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 34 t^{2}}{- 34} = \frac{- 9826}{- 34}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{- 9826}{- 34}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida $- 9826$ por $- 34$ .

$t^{2} = 289$

Etapa 5.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{289}$

Etapa 5.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{289}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Reescreva $289$ como $17^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{17^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$t = \pm 17$

Etapa 5.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = 17$

Etapa 5.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - 17$

Etapa 5.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = 17, - 17$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = 17, - 17$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = 17$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{68 (17) ({(17)}^{2} - 867)}{{({(17)}^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $68$ por $17$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{{(17^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{{(289 + 289)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Some $289$ e $289$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{578^{3}}$

Etapa 9.2.3

Eleve $578$ à potência de $3$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{193100552}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$\frac{1156 (289 - 867)}{193100552}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $867$ de $289$ .

$\frac{1156 \cdot - 578}{193100552}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $1156$ por $- 578$ .

$\frac{- 668168}{193100552}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum de $- 668168$ e $193100552$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Fatore $668168$ de $- 668168$ .

$\frac{668168 (- 1)}{193100552}$

Etapa 9.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.2.1

Fatore $668168$ de $193100552$ .

$\frac{668168 \cdot - 1}{668168 \cdot 289}$

Etapa 9.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{668168 \cdot - 1}{668168 \cdot 289}$

Etapa 9.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{289}$

Etapa 9.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{289}$

Etapa 10

$t = 17$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 17$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $17$ na expressão.

$r (17) = \frac{34 (17)}{{(17)}^{2} + 289}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $34$ por $17$ .

$r (17) = \frac{578}{17^{2} + 289}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$r (17) = \frac{578}{289 + 289}$

Etapa 11.2.2.2

Some $289$ e $289$ .

$r (17) = \frac{578}{578}$

Etapa 11.2.3

Divida $578$ por $578$ .

$r (17) = 1$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = - 17$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{68 (- 17) ({(- 17)}^{2} - 867)}{{({(- 17)}^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $68$ por $- 17$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{{({(- 17)}^{2} + 289)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Eleve $- 17$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{{(289 + 289)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Some $289$ e $289$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{578^{3}}$

Etapa 13.2.3

Eleve $578$ à potência de $3$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{193100552}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Eleve $- 17$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1156 (289 - 867)}{193100552}$

Etapa 13.3.2

Subtraia $867$ de $289$ .

$\frac{- 1156 \cdot - 578}{193100552}$

Etapa 13.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Multiplique $- 1156$ por $- 578$ .

$\frac{668168}{193100552}$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum de $668168$ e $193100552$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Fatore $668168$ de $668168$ .

$\frac{668168 (1)}{193100552}$

Etapa 13.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.2.1

Fatore $668168$ de $193100552$ .

$\frac{668168 \cdot 1}{668168 \cdot 289}$

Etapa 13.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{668168 \cdot 1}{668168 \cdot 289}$

Etapa 13.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{289}$

Etapa 14

$t = - 17$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = - 17$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $t = - 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $t$ por $- 17$ na expressão.

$r (- 17) = \frac{34 (- 17)}{{(- 17)}^{2} + 289}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $34$ por $- 17$ .

$r (- 17) = \frac{- 578}{{(- 17)}^{2} + 289}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $- 17$ à potência de $2$ .

$r (- 17) = \frac{- 578}{289 + 289}$

Etapa 15.2.2.2

Some $289$ e $289$ .

$r (- 17) = \frac{- 578}{578}$

Etapa 15.2.3

Divida $- 578$ por $578$ .

$r (- 17) = - 1$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $r (t) = \frac{34 t}{t^{2} + 289}$ .

$(17, 1)$ é um máximo local

$(- 17, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 17