Cálculo Exemplos

$H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$10 t^{9} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{5}{6}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{5}{6} t^{12}$ em relação a $t$ é $- \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$ .

$10 t^{9} - \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$10 t^{9} - \frac{5}{6} (12 t^{11})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) t^{11}$

Etapa 1.2.4

Combine $- 12$ e $\frac{5}{6}$ .

$10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 60}{6}$ e $t^{11}$ .

$10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $- 60$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Fatore $6$ de $- 60 t^{11}$ .

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

Etapa 1.2.7.2.4

Divida $- 10 t^{11}$ por $1$ .

$10 t^{9} - 10 t^{11}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}] + \frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ .

$H'' (t) = \frac{d}{d t} (- 10 t^{11}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 10 t^{11}$ em relação a $t$ é $- 10 \frac{d}{d t} [t^{11}]$ .

$H'' (t) = - 10 \frac{d}{d t} t^{11} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 11$ .

$H'' (t) = - 10 (11 t^{10}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $11$ por $- 10$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10 t^{9}$ em relação a $t$ é $10 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 \frac{d}{d t} (t^{9})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 (9 t^{8})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $9$ por $10$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 90 t^{8}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t^{10}) + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- \frac{5}{6}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{5}{6} t^{12}$ em relação a $t$ é $- \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot \frac{d}{d t} t^{12}$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot (12 t^{11})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) \cdot t^{11}$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 12$ e $\frac{5}{6}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 12$ por $5$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

Etapa 4.1.2.6

Combine $\frac{- 60}{6}$ e $t^{11}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

Etapa 4.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 60$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Fatore $6$ de $- 60 t^{11}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

Etapa 4.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

Etapa 4.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

Etapa 4.1.2.7.2.4

Divida $- 10 t^{11}$ por $1$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - 10 t^{11}$

Etapa 4.1.3

Reordene os termos.

$f' (t) = - 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $H (t)$ com relação a $t$ é $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ .

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- 10 t^{9}$ de $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 10 t^{9}$ de $- 10 t^{11}$ .

$- 10 t^{9} t^{2} + 10 t^{9} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- 10 t^{9}$ de $10 t^{9}$ .

$- 10 t^{9} t^{2} - 10 t^{9} \cdot - 1 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $- 10 t^{9}$ de $- 10 t^{9} (t^{2}) - 10 t^{9} (- 1)$ .

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 1$ .

$- 10 t^{9} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t^{9} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $t^{9}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $t^{9}$ como igual a $0$ .

$t^{9} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $t^{9} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[9]{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\sqrt[9]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{9}$ .

$t = \sqrt[9]{0^{9}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$t = 0$

Etapa 5.5

Defina $t + 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $t + 1$ como igual a $0$ .

$t + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$t = - 1$

Etapa 5.6

Defina $t - 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $t - 1$ como igual a $0$ .

$t - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$t = 1$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, - 1, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = 0, - 1, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 110 {(0)}^{10} + 90 {(0)}^{8}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 110 \cdot 0 + 90 {(0)}^{8}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 110$ por $0$ .

$0 + 90 {(0)}^{8}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 90 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Multiplique $90$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $t$ por $- 4$ na expressão.

$H' (- 4) = - 10 {(- 4)}^{11} + 10 {(- 4)}^{9}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $11$ .

$H' (- 4) = - 10 \cdot - 4194304 + 10 {(- 4)}^{9}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $- 4194304$ .

$H' (- 4) = 41943040 + 10 {(- 4)}^{9}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $9$ .

$H' (- 4) = 41943040 + 10 \cdot - 262144$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $10$ por $- 262144$ .

$H' (- 4) = 41943040 - 2621440$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $2621440$ de $41943040$ .

$H' (- 4) = 39321600$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $39321600$ .

$39321600$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $t$ por $- 0.5$ na expressão.

$H' (- 0.5) = - 10 {(- 0.5)}^{11} + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $11$ .

$H' (- 0.5) = - 10 \cdot - 0.00048828 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $- 0.00048828$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 0.5$ à potência de $9$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 \cdot - 0.00195312$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $10$ por $- 0.00195312$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 - 0.01953125$

Etapa 10.3.2.2

Subtraia $0.01953125$ de $0.00488281$ .

$H' (- 0.5) = - 0.01464843$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 0.01464843$ .

$- 0.01464843$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $t$ por $0.5$ na expressão.

$H' (0.5) = - 10 {(0.5)}^{11} + 10 {(0.5)}^{9}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $11$ .

$H' (0.5) = - 10 \cdot 0.00048828 + 10 {(0.5)}^{9}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $0.00048828$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 {(0.5)}^{9}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $0.5$ à potência de $9$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 \cdot 0.00195312$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $10$ por $0.00195312$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 0.01953125$

Etapa 10.4.2.2

Some $- 0.00488281$ e $0.01953125$ .

$H' (0.5) = 0.01464843$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $0.01464843$ .

$0.01464843$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $t$ por $4$ na expressão.

$H' (4) = - 10 {(4)}^{11} + 10 {(4)}^{9}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $11$ .

$H' (4) = - 10 \cdot 4194304 + 10 {(4)}^{9}$

Etapa 10.5.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $4194304$ .

$H' (4) = - 41943040 + 10 {(4)}^{9}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $9$ .

$H' (4) = - 41943040 + 10 \cdot 262144$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $10$ por $262144$ .

$H' (4) = - 41943040 + 2621440$

Etapa 10.5.2.2

Some $- 41943040$ e $2621440$ .

$H' (4) = - 39321600$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $- 39321600$ .

$- 39321600$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $t = - 1$ , então $t = - 1$ é um máximo local.

$t = - 1$ é um máximo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $t = 0$ , então $t = 0$ é um mínimo local.

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $t = 1$ , então $t = 1$ é um máximo local.

$t = 1$ é um máximo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ .

$t = - 1$ é um máximo local

$t = 0$ é um mínimo local

$t = 1$ é um máximo local

$t = - 1$ é um máximo local

$t = 0$ é um mínimo local

$t = 1$ é um máximo local

Etapa 11