Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Etapa 2.3

Subtraia $4 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 10.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 6$ .

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Etapa 10.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 10.1.4.2

Subtraia $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 10.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 10.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 10.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 11

A solução para a equação $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{12}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Etapa 13.1.2

Cancele o fator comum.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Etapa 13.1.3

Reescreva a expressão.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 13.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.3.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = \frac{π}{12}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{12}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{12}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Etapa 15.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Etapa 15.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 15.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{12}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Etapa 17.1.2

Cancele o fator comum.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Etapa 17.1.3

Reescreva a expressão.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 17.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 17.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 17.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.4.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.4.4

Reescreva a expressão.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Etapa 17.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Etapa 18

$x = \frac{5 π}{12}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{12}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Etapa 19.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Etapa 19.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 19.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 19.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 19.2.2

A resposta final é $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ é um mínimo local

Etapa 21