Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - \ln (x)$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Etapa 1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{1}{4 - \ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

Etapa 1.5.2

Fatore $x$ de $4 x - \ln (x) x$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x$ de $- \ln (x) x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ .

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ como ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x (4 - \ln (x))$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Multiplique.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4.2

Multiplique ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.6.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.7

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8

Diferencie.

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Etapa 2.8.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.4.1

Multiplique $4 - \ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.4.2

Some $- 1$ e $4$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.8.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

Etapa 2.8.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.6.1

Multiplique $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ por $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

Etapa 2.8.6.2

Some ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ e $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Etapa 2.9.2

Aplique a regra do produto a $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Etapa 2.9.3

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

Etapa 2.9.4

Multiplique $3 - \ln (x)$ por $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6