Cálculo Exemplos

$f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 1.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 1.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 1.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 1.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 1.3.8

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Etapa 1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Etapa 1.6.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 x^{- 5} + 0$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Etapa 2.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Etapa 2.5.3.3

Combine $24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}} + 0$

Etapa 2.5.3.4

Some $- \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 4.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 4.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Etapa 4.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 4.1.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 4.1.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 4.1.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 4.1.3.8

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Etapa 4.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Etapa 4.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Etapa 4.1.6.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 4.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, x^{4}, 1, 1$

Etapa 5.2.2

Since $x^{2}, x^{4}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{4}$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.2.6

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 5.2.7

Os fatores para $x^{4}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $4$ vezes.

Etapa 5.2.8

O MMC de $x^{2}, x^{4}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Etapa 5.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Etapa 5.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Etapa 5.2.9.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Etapa 5.2.9.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1}$

Etapa 5.2.9.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ por $x^{4}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ por $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6}{x^{4}}$ para o numerador.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 6 + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0 x^{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{4}$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + u - 6 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $u^{2} + u - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 5.4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Etapa 5.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 3 = 0$

Etapa 5.4.4

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 5.4.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 5.4.5

Defina $u + 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1

Defina $u + 3$ como igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Etapa 5.4.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$u = - 3$

Etapa 5.4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 2) (u + 3) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, - 3$

Etapa 5.4.7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 2$

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Etapa 5.4.8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 5.4.9

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.4.9.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.9.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.4.9.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.4.9.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5.4.10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Etapa 5.4.11

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 3$

Etapa 5.4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 5.4.11.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 5.4.11.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 5.4.11.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 5.4.11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 5.4.11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 5.4.11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 5.4.12

A solução para $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ é $x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina o denominador em $\frac{6}{x^{4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{4} = 0$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 6.4.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 6.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.4.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{2}{\sqrt{8}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{2}{\sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.4.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{2^{5}}}$

Etapa 9.1.5.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{32}}$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.3.1

Fatore $16$ de $32$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{16 (2)}}$

Etapa 9.1.5.3.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.1.5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 9.1.6

Cancele o fator comum de $24$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Fatore $4$ de $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 9.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.2.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (\sqrt{2})}$

Etapa 9.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 9.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.1.7

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.1.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 9.1.8.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 9.1.8.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 9.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9.1.8.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.1.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.1.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.1.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.1.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 9.1.8.6.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.1.9

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Etapa 9.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 9.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Etapa 9.1.9.2.4

Divida $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}$

Etapa 9.2

Para escrever $3 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 9.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Combine $3 \sqrt{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.4.2

Some $- \sqrt{2}$ e $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{3}}}$

Etapa 11.2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{8}}$

Etapa 11.2.1.3.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 11.2.1.3.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.6.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.2.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 11.2.1.6.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.1.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.1.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.1.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.2.1.6.6.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Some $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Etapa 11.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 0$

Etapa 11.2.2.3.2

Some $\sqrt{2}$ e $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{8}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.5

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{2}{- 1 \cdot 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.5.6.5

Avalie o expoente.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.6

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Etapa 13.1.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}}$

Etapa 13.1.7.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- {\sqrt{2}}^{5}}$

Etapa 13.1.7.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{2^{5}}}$

Etapa 13.1.7.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{32}}$

Etapa 13.1.7.5

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.5.1

Fatore $16$ de $32$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{16 (2)}}$

Etapa 13.1.7.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.1.7.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 1 \cdot 4 \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.7.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 4 \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $24$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{- 4 \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{4 (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (- \sqrt{2})}$

Etapa 13.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{- \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{\sqrt{2}}$

Etapa 13.1.10

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 13.1.11

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.11.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 13.1.11.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 13.1.11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 13.1.11.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 13.1.11.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 13.1.11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 13.1.11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.1.11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 13.1.11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 13.1.11.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 13.1.12

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Etapa 13.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 13.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 13.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Etapa 13.1.12.2.4

Divida $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (3 \sqrt{2})$

Etapa 13.1.13

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2}$

Etapa 13.2

Para escrever $- 3 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 13.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Combine $- 3 \sqrt{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 13.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 13.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 13.4.2

Subtraia $6 \sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) - \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Etapa 15.2.1.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Etapa 15.2.1.5.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}}$

Etapa 15.2.1.5.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}}$

Etapa 15.2.1.5.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{8}}$

Etapa 15.2.1.5.5

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}}$

Etapa 15.2.1.5.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.2.1.5.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Etapa 15.2.1.5.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 2 \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 15.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 15.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.7

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.8

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 15.2.1.9

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.9.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.9.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 15.2.1.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 15.2.1.9.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 15.2.1.9.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 15.2.1.9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.2.1.9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.2.1.9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.2.1.9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 15.2.1.9.6.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 15.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 15.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 15.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Etapa 15.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 0$

Etapa 15.2.2.3.2

Some $- \sqrt{2}$ e $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2}$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ é um mínimo local

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ é um máximo local

Etapa 17