Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{32}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{32}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 1.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 1.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Etapa 1.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 1.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.2.10

Multiplique $- 2$ por $32$ .

$1 - 64 x^{- 3}$

Etapa 1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Combine $- 64$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Etapa 1.4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{64}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.8

Multiplique $- 3$ por $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $192$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $\frac{192}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{32}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{32}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 4.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 4.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 4.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 4.1.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 4.1.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Etapa 4.1.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 4.1.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $- 2$ por $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1

Combine $- 64$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{3}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ por $x^{3}$ .

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{64}{x^{3}}$ para o numerador.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 64 = - x^{3}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- x^{3} = - 64$ .

$- x^{3} = - 64$

Etapa 5.5.2

Some $64$ aos dois lados da equação.

$- x^{3} + 64 = 0$

Etapa 5.5.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{3} + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva $64$ como $- 1 (- 64)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Etapa 5.5.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ .

$- (x^{3} - 64) = 0$

Etapa 5.5.3.2

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Etapa 5.5.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Etapa 5.5.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.1.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Etapa 5.5.3.4.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Etapa 5.5.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Etapa 5.5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Etapa 5.5.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.5.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.5.6

Defina $x^{2} + 4 x + 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.1

Defina $x^{2} + 4 x + 16$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Etapa 5.5.6.2

Resolva $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 16$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.3.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.5.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Etapa 5.5.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.4.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.5.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Etapa 5.5.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Etapa 5.5.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.6.2.5.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.5.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.5.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Etapa 5.5.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Etapa 5.5.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Etapa 5.5.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{64}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$\frac{192}{256}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $192$ e $256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $64$ de $192$ .

$\frac{64 (3)}{256}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $64$ de $256$ .

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4}$

Etapa 10

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

Etapa 11.2.1.2

Divida $32$ por $16$ .

$f (4) = 4 + 2$

Etapa 11.2.2

Some $4$ e $2$ .

$f (4) = 6$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ .

$(4, 6)$ é um mínimo local

Etapa 13