Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{2 x + 1}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.3

Mova ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.2

Combine $\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 16

Multiplique ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 17

Para escrever ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Multiplique ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 19.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Simplifique ${(2 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x + 2 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$