Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 5$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

Etapa 3.8

Multiplique ${(2 x - 5)}^{3}$ por $1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore ${(2 x - 5)}^{2}$ de $x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore ${(2 x - 5)}^{2}$ de $x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Fatore ${(2 x - 5)}^{2}$ de ${(2 x - 5)}^{3}$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

Etapa 4.1.3

Fatore ${(2 x - 5)}^{2}$ de ${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

Etapa 4.2.2

Some $6 x$ e $2 x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

Etapa 4.3

Reescreva ${(2 x - 5)}^{2}$ como $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.4

Expanda $(2 x - 5) (2 x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Etapa 4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Etapa 4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.2.1

Mova $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.1.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.1.5

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

Etapa 4.5.2

Subtraia $10 x$ de $- 10 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

Etapa 4.6

Expanda $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.2.1

Mova $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.4

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.6.1

Mova $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.7

Multiplique $- 20$ por $8$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.8

Multiplique $- 5$ por $- 20$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.9

Multiplique $8$ por $25$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

Etapa 4.7.10

Multiplique $25$ por $- 5$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Etapa 4.8

Subtraia $160 x^{2}$ de $- 20 x^{2}$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Etapa 4.9

Some $100 x$ e $200 x$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$