Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt{1 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Etapa 2.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Etapa 2.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.15

Combine $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Etapa 2.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.17

Reescreva $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.18

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$