Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = \sin (z)$ e $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ é $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , em que $f (z) = z - 7$ e $g (z) = z + 7$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z - 7$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $- 7$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 7$ em relação a $z$ é $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $z + 7$ por $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z + 7$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $7$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $7$ em relação a $z$ é $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Combine $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ e $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Combine os termos opostos em $z + 7 - z - - 7$ .

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $z$ de $z$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Some $7$ e $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Mova $14$ para a esquerda de $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ .

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$