Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (5 x + 1)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Etapa 2

Reescreva $\tan (5 x + 1)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ .

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Etapa 4

Converta de $\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ em $\cot (5 x + 1)$ .

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Etapa 5.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 6.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 6.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 6.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

Etapa 6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.6.1

Some $5$ e $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

Etapa 6.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

Etapa 6.6.3

Reordene os fatores de $5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$