Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x + y) - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.6

Multiplique $\cos (x + y)$ por $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\cos (x + y) - y$

Etapa 4

Reordene os termos.

$- y + \cos (x + y)$