Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{2}{4 x^{2} + 1}$