Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Etapa 2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.8

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Combine $9$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$