Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{b}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x + a}{b}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{b}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Etapa 2.5

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $b$ por $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Etapa 3.3.2

Combine $b$ e $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $b$ e $b^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $b$ de $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Etapa 3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.2.1

Fatore $b$ de $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Etapa 3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.4

Para escrever $b$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.6

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.7

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Etapa 3.3.10

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$