Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - e^{2 x}$ e $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [- e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{2 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \cdot 1) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 5.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 7.4

Combine frações.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 7.4.2

Combine $\frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ e $\sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{2 x})) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1

Multiplique $- 2 e^{2 x}$ por $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.3

Multiplique $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.3.1

Mova $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x + 2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.3.3

Some $2 x$ e $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.5

Multiplique $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.5.1

Mova $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- (e^{2 x} e^{2 x}))) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x + 2 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.5.3

Some $2 x$ e $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{4 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.2

Combine os termos opostos em $- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}$ .

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Etapa 8.4.2.1

Some $- 2 e^{4 x}$ e $2 e^{4 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + 0 - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.2.2

Some $- 2 e^{2 x}$ e $0$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.3

Subtraia $2 e^{2 x}$ de $- 2 e^{2 x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.4.2

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.4.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e^{x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.5

Combine os termos.

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Etapa 8.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 8.5.3

Multiplique $\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$