Cálculo Exemplos

$f (x) = e \sqrt{x - 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $e \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$e \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$e (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 7.3

Mova ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e (\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $e$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$