Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (1 + e^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x}$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{1 + e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$