Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\ln (3 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (3 x)$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{\ln (3 x)} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{3 x}$ por $\frac{1}{\ln (3 x)}$ .

$\frac{1}{3 x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x \ln (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3 x \ln (3 x)}$ .

$\frac{3}{3 x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3 x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x \ln (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (3 x)} \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{x \ln (3 x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{x \ln (3 x)}$