Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (6 x^{2} - 8 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x^{2} - 8 x + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x^{2} - 8 x + 1$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 8 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.7

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x - 8 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x - 8 + 0)$

Etapa 2.9

Some $12 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x - 8)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1} (12 x - 8)$ .

$(12 x - 8) \frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $12 x - 8$ por $\frac{1}{6 x^{2} - 8 x + 1}$ .

$\frac{12 x - 8}{6 x^{2} - 8 x + 1}$

Etapa 3.3

Fatore $4$ de $12 x - 8$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $4$ de $12 x$ .

$\frac{4 (3 x) - 8}{6 x^{2} - 8 x + 1}$

Etapa 3.3.2

Fatore $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 2)}{6 x^{2} - 8 x + 1}$

Etapa 3.3.3

Fatore $4$ de $4 (3 x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{4 (3 x - 2)}{6 x^{2} - 8 x + 1}$