Cálculo Exemplos

$g (u) = \sqrt{5} u + \sqrt{3 u}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{5} u + \sqrt{3 u}$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [\sqrt{5} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt{5} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d u} [\sqrt{5} u]$ .

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Etapa 2.1

Como $\sqrt{5}$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $\sqrt{5} u$ em relação a $u$ é $\sqrt{5} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\sqrt{5} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sqrt{5} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Etapa 2.3

Multiplique $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d u} [\sqrt{3 u}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 u}$ como ${(3 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [{(3 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Fatore $3$ de $3 u$ .

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [{(3 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $3 (u)$ .

$\sqrt{5} + \frac{d}{d u} [3^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.4

Como $3^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $3^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ em relação a $u$ é $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5} + 3^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.12

Combine $3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{5} + \frac{3^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.13

Mova $u^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{5} + \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{5}$