Cálculo Exemplos

$g (x) = (2 - x) \tan^{2} (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 - x$ e $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$(2 - x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$(2 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(2 - x) (2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$(2 - x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 3

Mova $2$ para a esquerda de $2 - x$ .

$2 \cdot (2 - x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cdot - 1$

Etapa 5.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\tan^{2} (x)$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \tan^{2} (x)$

Etapa 5.6.3

Reescreva $- 1 \tan^{2} (x)$ como $- \tan^{2} (x)$ .

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 2 + 2 (- x)) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 2 \tan (x) + 2 (- x) \tan (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 2 \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 (- x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 6.4

Combine os termos.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 (- x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 6.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 2 x \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Etapa 6.5

Reordene os termos.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)$