Cálculo Exemplos

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t + 4$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t + 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t + 4$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.6.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

Etapa 3.8

Mova $2$ para a esquerda de ${(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

Etapa 4.1.2

Fatore $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

Etapa 4.1.3

Fatore $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.2

Mova $9$ para a esquerda de $t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.3

Reescreva ${(3 t + 4)}^{2}$ como $(3 t + 4) (3 t + 4)$ .

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.4

Expanda $(3 t + 4) (3 t + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.2.1

Mova $t$ .

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.1.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.1.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.1.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.5.2

Some $12 t$ e $12 t$ .

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.7

Simplifique.

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Etapa 4.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.7.3

Mova $16$ para a esquerda de $t$ .

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.1.1

Mova $t^{2}$ .

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.8.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 4.8.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.8.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.8.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.2.1

Mova $t$ .

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.8.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Etapa 4.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

Etapa 4.9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

Etapa 4.9.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

Etapa 4.10

Some $9 t$ e $6 t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

Etapa 4.11

Expanda $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.2

Multiplique $t^{3}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.2.1

Mova $t$ .

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.2.2

Multiplique $t$ por $t^{3}$ .

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Etapa 4.12.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.2.3

Some $1$ e $3$ .

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.3

Multiplique $9$ por $15$ .

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.4

Multiplique $8$ por $9$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.6

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.6.1

Mova $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.6.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 4.12.6.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.6.3

Some $1$ e $2$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.7

Multiplique $24$ por $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.8

Multiplique $8$ por $24$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.10

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.10.1

Mova $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.10.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.11

Multiplique $16$ por $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Etapa 4.12.12

Multiplique $8$ por $16$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Etapa 4.13

Some $72 t^{3}$ e $360 t^{3}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Etapa 4.14

Some $192 t^{2}$ e $240 t^{2}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$